2 测量误差与处理方法

概念

• 测量误差的来源：仪器、人、外界环境
• 系统误差
  • 规律性：按特定规律变化
  • 方向性：符号基本相同
  • 累积性：通常与待测量成正比
  • 可以被改正
• 偶然误差
  • 有界性：绝对值不会超过一定阈值
  • 趋向性：大误差概率小，小误差概率大
  • 对称性：正负误差频率大致相等
  • 抵偿性：观测次数无限增大时理论平均值趋于零
• 粗差：偏离较大的错误值，应舍弃

精度的评定

• 真值：客观存在的值，例如一段距离或角度
  • 通常不可知
  • 部分条件下可知（例如三角形内角和）
• 真误差：真值 $-$ 测量值，即 ${\Delta }_i=X-x_i$
  • 准确度：测量值与真值的差距（不常用，因为真值通常不可知）
• 精度：测量结果的稳定性
• 等精度观测：观测条件基本相同的观测

已知真值 $X$

定义中误差（子样标准差）$m$：

$$m=\pm \sqrt{\frac{\sum (X-x_i{)}^2}{n}}$$

定义相对中误差为 $\frac{m}{x_{真}}$。

通常以 2 至 3 倍中误差作为允许的误差极限，成为允许误差或允差，即 ${\Delta }_{允}=2m$。

未知真值

未知真值条件下用算术平均值 $\bar{x}=\sum x_i/n$ 作为该量的最可靠值，也称最或然值，用于替代真值。

由于真值未知，误差也未知。因此定义改正值 $v_i=\bar{x}-x_i$ 替代误差值。

TIP

误差和改正值都是真值（最或然值）减去测量值，顺序不要反。

记忆技巧：测量值改正后变成最或然值，因此 $x_i+v_i=\bar{x}$。

使用算术平均值计算中误差，分母从 $n$ 变为 $n-1$：

$$m=\pm \sqrt{\frac{\sum (\bar{x}-x_i{)}^2}{n-1}}$$

WARNING

中误差的注意事项：

• 正负号 $\pm$ 不要丢
• 记得开根号
• 中误差量纲与待测量一致，有效位数也保留到一致

误差传播公式

对于一般多元函数 $Z=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，有

$$m_Z=\pm \sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)}^2{m}_1^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)}^2{m}_2^2+\cdots +{\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)}^2{m}_n^2}$$

即

$$m_Z=\pm \sqrt{\sum _i{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2{m}_i^2}$$

WARNING

• 根号里面每项都要平方
• 整体开方
• 外面正负号 $\pm$ 不要丢

推论：算术平均值的中误差

$$m_{\bar{x}}=\pm \frac{m}{\sqrt{n}}=\pm \sqrt{\frac{\sum (\bar{x}-x_i{)}^2}{n(n-1)}}$$

加权平均值及其中误差

对于不等精度观测，需要使用加权平均。定义权 $P$

$$P_i\propto \frac{1}{m_i^2}$$

定义单位权中误差 $m_0$，使其对应的权为 $1$（即「单位权」），则有

$$P_i=\frac{m_0^2}{m_i^2}$$

定义了权后，有加权平均值：

$$\bar{x}=\frac{\sum P_i{x}_i}{\sum P_i}$$

有加权平均值的中误差：

$$m_{\bar{x}}=\frac{m_0}{\sqrt{\sum P_i}}$$

TIP

算术平均值是加权平均值的特例，即 $P_i=1$，$\sum P_i=n$。算术平均值的公式在形式上也与加权平均值相符，即

$$\begin{array}{c}\bar{x}=\frac{\sum P_i{x}_i}{\sum P_i}=\frac{\sum x_i}{n}\\ m_{\bar{x}}=\frac{m_0}{\sqrt{\sum P_i}}=\frac{m_0}{\sqrt{n}}\end{array}$$