5 地球椭球上的弧长与面积
椭球面的第一基本形式
在微分几何的曲面论中，曲面的三个基本形式是研究曲面的整体性质及局部几何性质的有力工具，可用来列出曲面的基本方程，在此讨论对大地测量计算及地图投影十分有用的椭球面的第一基本形式。
设椭球面上一点 的位置向量为 ，其邻近的一点 的位置向量为 。若舍去 的二阶以上小量，则有微分关系式：
若 两点无限接近，即 ，可将 定义为曲面上两个无限临近点之间的距离 ，满足
这里的 指的是 而非 。
此二次全微分式称为曲面的第一基本形式，也称为曲面的线素。其中的 是常数系数，称为曲面的第一基本形式的系数，亦称为一阶基本量。
根据我们在上一节 子午圈切向量 和 平行圈切向量 中推导的结果，有
又因为子午圈切向量 和平行圈切向量 是垂直的，所有有
代入前面的式子就得到了
我们知道对于圆弧来说，圆弧的长度等于圆心角乘以半径。对于非圆弧来说，可以用曲率半径替换半径。这里 是子午圈曲率半径， 是平行圈半径，所以这个式子很好理解： 其实就是 在子午圈上投影的长， 就是在平行圈上投影的长， 具有类似勾股定理的形式，十分优美。
我们接下来详细讨论一下子午圈和卯酉圈的弧长。
子午线弧长
同一条子午线上的大地经度 都相同，因此 。所以有
要求从纬度 到 的子午线弧长，则对上式积分
将被积函数按二项式作级数展开，可以得到其计算式。式子非常繁杂，此处就不再展开了。
对于不太长的子午线弧长，可采用展开成两端点纬度差 的幂级数展开式，作为系数的各阶导数则可在平均纬度 处取值：
回忆泰勒公式并推导
也就是有一个原函数 满足 ，那么 。
为了简化书写，令 ，那么就有 ，。
回忆泰勒公式：
对于任意足够光滑的函数 ，可以用多项式逼近它：
所以将 在 处展开：
同理，把 换成 ：
将两式相减。偶次项由于 不变号，全部抵消了，只剩奇次项：
将 带回：
整理系数：
又有