2 协方差阵及其传播律

变量符号约定

• $c$ 常数
• $x$ 随机变量
• $\mathbf{c}$ 常向量
• $\mathbf{x}$ 随机向量
• $\mathbf{A}$ 矩阵
• $D_{xy}$ 随机变量 $x$ 和 $y$ 的协方差
• ${\mathbf{D}}_{xx}$ 随机向量 $\mathbf{x}$ 的自协方差阵
• ${\mathbf{D}}_{xy}$ 随机向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 的互协方差阵

回顾随机变量及其数字特征

数学期望

$$E(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)\mathrm{d}x$$$$E(x)=\sum _1^n{x}_i{p}_i$$

• $E(c)=c$，$c$ 为常数
• $E(cx)=cE(x)$
• $E(x\pm y)=E(x)\pm E(y)$，$x,y$ 不必相互独立
• $E(xy)=E(x)E(y)$，$x,y$ 相互独立

方差

$$D(x)=D_{xx}={\sigma }_x^2=E[(x-E(x){)}^2]$$$$D(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }(x-E(x){)}^{2}f(x)\mathrm{d}x$$$$D(x)=\sum _1^n(x_i-E(x){)}^2{p}_i$$

• $D(c)=0$，$c$ 为常数
• $D(cx)=c^{2}D(x)$
• $D(x)=E(x^2)-[E(x){]}^2$
• $D(x\pm y)=D(x)+D(y)$，$x,y$ 相互独立
• $D(xy)=D(x)D(y)+D(x)[E(y){]}^2+D(y)[E(x){]}^2$，$x,y$ 相互独立（此式可通过误差传播定律推出）

相关系数

$${\rho }_{xy}=\frac{{\sigma }_{xy}}{{\sigma }_x{\sigma }_y}=\frac{D_{xy}}{\sqrt{D(x)}\sqrt{D(y)}}$$

回顾误差传播定律

我们在 测量学 / 测量误差及处理方法 - 误差传播公式 中提到过了误差传播定律的内容：

对于一般多元函数 $Z=f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，有

$${\sigma }_Z=\pm \sqrt{{\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)}^2{\sigma }_1^2+{\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)}^2{\sigma }_2^2+\cdots +{\left(\frac{\partial f}{\partial x_n}\right)}^2{\sigma }_n^2}$$

即

$${\sigma }_Z=\pm \sqrt{\sum _i{\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)}^2{\sigma }_i^2}$$

其具有一些局限性，例如

• 要求 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 均为相互独立的原始观测量，如果不是，要化成原始观测量
• 对于每个函数 $Z$ 均需要单独列式计算，无法同时获得多个函数的方差及它们之间的协方差

因此我们引入线性代数的手段简化这一过程。

TIP

计算量是不会简化到哪里去的 —— 有多少东西要算，转化完还是那么多东西要算。简化的意义是避免繁琐冗杂的列式、便于机器自动化处理。

协方差阵

自协方差阵

我们将 $n$ 个初始观测值 $L_1,L_2,\cdots ,L_n$ 组成一个向量：定义观测向量 $\mathbf{L}=[L_1,L_2,\cdots ,L_n{]}^{\mathrm{T}}$。该观测向量服从 $n$ 维正态分布。

则有对应的数学期望向量 $E(\mathbf{L})=[E(L_1),\cdots ,E(L_n){]}^{\mathrm{T}}$。

由此我们定义 方差 - 协方差阵（也称 自协方差阵）：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{D}}_{LL}& =E\{[\mathbf{L}-E(\mathbf{L})][\mathbf{L}-E(\mathbf{L}){]}^{\mathrm{T}}\}\\ & =\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_{L_1}^2& {\sigma }_{L_1{L}_2}& \cdots & {\sigma }_{L_1{L}_n}\\ {\sigma }_{L_2{L}_1}& {\sigma }_{L_2}^2& \cdots & {\sigma }_{L_2{L}_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{L_n{L}_1}& {\sigma }_{L_n{L}_2}& \cdots & {\sigma }_{L_n}^2\end{array}\right]\end{array}$$

TIP

1. 观测向量、期望向量、协方差阵都是有单位的，不是无量纲；
2. 从一维拓展到 $n$ 维时，$a^2$ 的形式通常会转化为 $\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$。我们后续还会再遇到。

自协方差阵的特点：

• ${\mathbf{D}}_{LL}$ 是对称阵：协方差具有对称性，${\sigma }_{L_i{L}_j}={\sigma }_{L_j{L}_i}$
• 主对角元是方差：$i$ 行 $i$ 列是随机变量 $L_i$ 的方差
• 非主对角元是协方差：$i$ 行 $j$ 列（$i\ne j$）是随机变量 $L_i$ 和 $L_j$ 的协方差
• 观测值相互独立时是对角阵：若 $L_i$ 两两相互独立，则所有协方差为零，只剩主对角元，${\mathbf{D}}_{LL}=\mathrm{diag}[{\sigma }_{L_1}^2,\cdots ,{\sigma }_{L_n}^2]$
• 等精度独立观测时是数量阵：在两两独立的基础上，若所有观测量等精度，则所有 ${\sigma }_{L_i}^2$ 均相等，${\mathbf{D}}_{LL}={\sigma }_L^2\mathbf{I}$

例 1

每公里观测中误差为 ${\sigma }_{\mathrm{km}}=5\mathrm{mm}$，写出下列观测向量的方差协方差阵。

---

$$\mathbf{L}=\left[\begin{array}{c}{L}_1\\ L_2\\ L_3\\ L_4\end{array}\right]$$$${\mathbf{D}}_{LL}=\left[\begin{array}{cccc}1.6& 0& 0& 0\\ 0& 2.1& 0& 0\\ 0& 0& 1.7& 0\\ 0& 0& 0& 2.0\end{array}\right]\cdot {\sigma }_{\mathrm{km}}^2=\left[\begin{array}{cccc}40& 0& 0& 0\\ 0& 52.5& 0& 0\\ 0& 0& 42.5& 0\\ 0& 0& 0& 50\end{array}\right]\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$$

互协方差阵

前面的自协方差阵，是只有一个观测向量形成的协方差阵。除此之外还可以由两个不同的观测向量组成协方差阵。

对于两个观测向量 ${\mathbf{x}}_{n\times 1}$ 和 ${\mathbf{y}}_{m\times 1}$，定义二者的互协方差阵 ${\mathbf{D}}_{xy}$ 和 ${\mathbf{D}}_{yx}$：

$$\begin{array}{rl}{{\mathbf{D}}_{xy}}_{n\times m}& =E\{[\mathbf{x}-E(\mathbf{x})][\mathbf{y}-E(\mathbf{y}){]}^{\mathrm{T}}\}\\ & \\ {{\mathbf{D}}_{yx}}_{m\times n}& =E\{[\mathbf{y}-E(\mathbf{y})][\mathbf{x}-E(\mathbf{x}){]}^{\mathrm{T}}\}\end{array}$$

例子

例如对于 ${\mathbf{x}}_{3\times 1}=[x_1,x_2,x_3{]}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{y}}_{2\times 1}=[y_1,y_2{]}^{\mathrm{T}}$，则有

$$\begin{array}{rlrl}\mathbf{x}的自协方差阵& & {\mathbf{D}}_{xx}& =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{x_1}^2& {\sigma }_{x_1{x}_2}& {\sigma }_{x_1{x}_3}\\ {\sigma }_{x_2{x}_1}& {\sigma }_{x_2}^2& {\sigma }_{x_2{x}_3}\\ {\sigma }_{x_3{x}_1}& {\sigma }_{x_3{x}_2}& {\sigma }_{x_3}^2\end{array}\right]\\ & & & \\ \mathbf{y}的自协方差阵& & {\mathbf{D}}_{yy}& =\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{y_1}^2& {\sigma }_{y_1{y}_2}\\ {\sigma }_{y_2{y}_1}& {\sigma }_{y_2}^2\end{array}\right]\\ & & & \\ \mathbf{x},\mathbf{y}的互协方差阵& & {\mathbf{D}}_{xy}& =\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{x_1{y}_1}& {\sigma }_{x_1{y}_2}\\ {\sigma }_{x_2{y}_1}& {\sigma }_{x_2{y}_2}\\ {\sigma }_{x_3{y}_1}& {\sigma }_{x_3{y}_2}\end{array}\right]\\ & & & \\ \mathbf{y},\mathbf{x}的互协方差阵& & {\mathbf{D}}_{yx}& =\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{y_1{x}_1}& {\sigma }_{y_1{x}_2}& {\sigma }_{y_1{x}_3}\\ {\sigma }_{y_2{x}_1}& {\sigma }_{y_2{y}_2}& {\sigma }_{y_2{x}_3}\end{array}\right]\end{array}$$

互协方差阵的特点：

• 一般不是方阵（$m=n$ 时是方阵）
• 矩阵元素均为协方差，没有方差
• ${\mathbf{D}}_{xy}$ 和 ${\mathbf{D}}_{yx}$ 互为转置，即 ${\mathbf{D}}_{xy}={\mathbf{D}}_{yx}^{\mathrm{T}}$
• 若 ${\mathbf{D}}_{xy}$ 或 ${\mathbf{D}}_{yx}$ 为 $\mathbf{O}$，则随机变量 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 互不相关

协方差阵的传播律

单函数传播

此前的误差传播定律提到对于 $f=ax+b$，则有 ${\sigma }_f^2=a^2{\sigma }_x^2$。现在我们将其推广到 $n$ 维。

对于随机向量的线性函数 $\mathbf{f}=\mathbf{A}\mathbf{x}+{\mathbf{a}}_0$，有

$${\mathbf{D}}_{ff}=\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{xx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$$

证明

$$\begin{array}{rl}\mathbf{f}& =\mathbf{A}\mathbf{x}+{\mathbf{a}}_0\\ E(\mathbf{f})& =E(\mathbf{A}\mathbf{x}+{\mathbf{a}}_0)=\mathbf{A}E(\mathbf{x})+{\mathbf{a}}_0\\ {\mathbf{D}}_{ff}& =E\left\{\left[\mathbf{f}-E(\mathbf{f})\right]{\left[\mathbf{f}-E(\mathbf{f})\right]}^{\mathrm{T}}\right\}\\ & =E\left\{\left[\mathbf{A}\mathbf{x}+\cancel{{\mathbf{a}}_0}-\mathbf{A}E(\mathbf{x})-\cancel{{\mathbf{a}}_0}\right]{\left[\mathbf{A}\mathbf{x}+\cancel{{\mathbf{a}}_0}-\mathbf{A}E(\mathbf{x})-\cancel{{\mathbf{a}}_0}\right]}^{\mathrm{T}}\right\}\\ & =\mathbf{A}E\left\{[\mathbf{x}-E(\mathbf{x})][\mathbf{x}-E(\mathbf{x}){]}^{\mathrm{T}}\right\}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ & =\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{xx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

例 2

方向观测值 $l_1$、$l_2$、$l_3$ 相互独立，精度均为 $\sigma$，求 ${\sigma }_{{\alpha }_1}$、${\sigma }_{{\alpha }_2}$、${\sigma }_{{\alpha }_1{\alpha }_2}$。

---

$$\left[\begin{array}{c}{\alpha }_1\\ {\alpha }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{l}_2-l_1\\ l_3-l_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{l}_1\\ l_2\\ l_3\end{array}\right]$$$$\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_{{\alpha }_1}^2& {\sigma }_{{\alpha }_1{\alpha }_2}\\ {\sigma }_{{\alpha }_2{\alpha }_1}& {\sigma }_{{\alpha }_2}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ 0& -1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }^2& 0& 0\\ 0& {\sigma }^2& 0\\ 0& 0& {\sigma }^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& -1\\ 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]{\sigma }^2$$

故有

$$\begin{array}{c}{\sigma }_{{\alpha }_1}={\sigma }_{{\alpha }_2}=\sqrt{2}\sigma \\ {\sigma }_{{\alpha }_2{\alpha }_1}=-{\sigma }^2\end{array}$$

例 3

已知等精度观测三角形三内角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$，精度均为 $\sigma$，求 ${\sigma }_{\hat{\alpha }}$、${\sigma }_{\hat{\beta }}$、${\sigma }_{\hat{\gamma }}$。

---

闭合差

$$w=180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma )$$

平差值

$$\begin{array}{rl}\hat{\alpha }& =\alpha +\frac{w}{3}\\ \hat{\beta }& =\beta +\frac{w}{3}\\ \hat{\gamma }& =\gamma +\frac{w}{3}\end{array}$$

误解：应用误差传播律：

$${\sigma }_{\hat{\alpha }}^2={\sigma }_{\alpha }^2+\frac{1}{9}{\sigma }_w^2={\sigma }^2+\frac{1}{9}({\sigma }^2+{\sigma }^2+{\sigma }^2)=\frac{4}{3}{\sigma }^2>{\sigma }^2$$

发现平差后精度降低。原因：$\alpha$ 与 $w$ 不独立，误差传播率要求各量相互独立。

$$\hat{\alpha }=\alpha +\frac{w}{3}=\alpha +\frac{1}{3}[180^{\circ }-(\alpha +\beta +\gamma )]=\frac{2}{3}\alpha -\frac{1}{3}\beta -\frac{1}{3}\gamma +60^{\circ }$$

同理有

$$\begin{array}{rl}\hat{\beta }& =-\frac{1}{3}\alpha +\frac{2}{3}\beta -\frac{1}{3}\gamma +60^{\circ }\\ \hat{\gamma }& =-\frac{1}{3}\alpha -\frac{1}{3}\beta +\frac{2}{3}\gamma +60^{\circ }\end{array}$$$$\left[\begin{array}{c}\hat{\alpha }\\ \hat{\beta }\\ \hat{\gamma }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ -\frac{1}{3}& -\frac{1}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}60\\ 60\\ 60\end{array}\right]{(}^{\circ })$$$$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{\hat{\alpha }}^2& {\sigma }_{\hat{\alpha }\hat{\beta }}& {\sigma }_{\hat{\alpha }\hat{\gamma }}\\ {\sigma }_{\hat{\alpha }\hat{\beta }}& {\sigma }_{\hat{\beta }}^2& {\sigma }_{\hat{\beta }\hat{\gamma }}\\ {\sigma }_{\hat{\alpha }\hat{\gamma }}& {\sigma }_{\hat{\beta }\hat{\gamma }}& {\sigma }_{\hat{\gamma }}^2\end{array}\right]=\frac{{\sigma }^2}{3}\left[\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{array}\right]$$$${\sigma }_{\hat{\alpha }\hat{\beta }}={\sigma }_{\hat{\alpha }\hat{\gamma }}={\sigma }_{\hat{\beta }\hat{\gamma }}=-\frac{1}{3}{\sigma }^2$$$${\sigma }_{\hat{\alpha }}^2={\sigma }_{\hat{\beta }}^2={\sigma }_{\hat{\gamma }}^2=\frac{2}{3}{\sigma }^2<{\sigma }^2$$

平差后精度提高。

对于非线性函数，与此前一维的处理类似，可以通过线性化近似的方法来解决：求函数值的全微分，用观测值计算偏导数值，得到线性近似表达式。

例 4

已知：

$$\{\begin{array}{rl}{\psi }_1& =3l_1-2l_2\\ {\psi }_2& =l_1{l}_2+l_3^2\end{array}{\mathbf{D}}_{ll}=\left[\begin{array}{ccc}1.2& -0.4& 0.2\\ -0.4& 0.8& 0\\ 0.2& 0& 0.6\end{array}\right]$$

求：当 $l_1^0=6$，$l_2^0=8$，$l_3^0=10$ 时的 ${\mathbf{D}}_{\psi \psi }$。

---

求 ${\psi }_1,{\psi }_2$ 的全微分：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{\psi }_1& =3\mathrm{d}{l}_1-2\mathrm{d}{l}_2\\ \mathrm{d}{\psi }_2& =l_1^0\mathrm{d}{l}_2+l_2^0\mathrm{d}{l}_1+2l_3^0\mathrm{d}{l}_3\end{array}$$

因此令 $\mathrm{d}{\mathbf{\psi }}_{2\times 1}=\mathbf{K}\mathrm{d}{\mathbf{l}}_{3\times 1}$，有

$$\mathbf{K}=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 8& 6& 20\end{array}\right]$$

因此有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{D}}_{\psi \psi }& =\mathbf{K}{\mathbf{D}}_{ll}{\mathbf{K}}^{\mathrm{T}}\\ & =\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 0\\ 8& 6& 20\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1.2& -0.4& 0.2\\ -0.4& 0.8& 0\\ 0.2& 0& 0.6\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 8\\ -2& 6\\ 0& 20\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}54& 32\\ 32& 1856\end{array}\right]\end{array}$$

故有 ${\sigma }_{{\psi }_1}^2=54$，${\sigma }_{{\psi }_2}^2=1856$，${\sigma }_{{\psi }_1{\psi }_2}=32$。

多函数传播

• 单个观测向量的两个函数的互协方差

  对于观测向量 $\mathbf{x}$，有两个函数 $\mathbf{f}=\mathbf{Ax}+{\mathbf{a}}_0$ 和 $\mathbf{g}=\mathbf{Bx}+{\mathbf{b}}_0$，则有 $\mathbf{f},\mathbf{g}$ 的互协方差阵：

  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{D}}_{fg}& ={\mathbf{AD}}_{xx}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{D}}_{gf}& ={\mathbf{BD}}_{xx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

• 两个观测向量各自函数的互协方差

  对于观测向量 $\mathbf{x}$ 有函数 $\mathbf{f}=\mathbf{Ax}+{\mathbf{a}}_0$，对于观测向量 $\mathbf{y}$ 有函数 $\mathbf{w}=\mathbf{Cy}+{\mathbf{c}}_0$，则有 $\mathbf{f},\mathbf{w}$ 的互协方差阵：

  $$\begin{array}{rl}{\mathbf{D}}_{fw}& ={\mathbf{AD}}_{xy}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{D}}_{wf}& ={\mathbf{CD}}_{yx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

对于非线性函数，也可以按前述方法转化为线性函数后再求解。

例 5

设有函数关系式

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Y}& =\mathbf{AX}\\ \mathbf{Z}& =\mathbf{BY}\\ \mathbf{Y}& =\mathbf{CY}+\mathbf{GZ}\\ \mathbf{W}& =\mathbf{FZ}+\mathbf{HR}\end{array}$$

式中，$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{G},\mathbf{F},\mathbf{H}$ 均为常数阵。已知 ${\mathbf{D}}_{XX}$，求：${\mathbf{D}}_{RR},{\mathbf{D}}_{RZ},{\mathbf{D}}_{RW}$。

---

$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =\mathbf{CY}+\mathbf{GZ}\\ & =\mathbf{CAX}+\mathbf{GBAX}\\ & =(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{AX}\\ \Rightarrow {\mathbf{D}}_{RR}& =(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{AX}[(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{A}{]}^{\mathrm{T}}\\ & =(\mathbf{C}+\mathbf{GB}){\mathbf{AXA}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{C}+\mathbf{GB}{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\mathbf{R}& =(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{AX}\\ \mathbf{Z}& =\mathbf{BAX}\\ \Rightarrow {\mathbf{D}}_{RZ}& =(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{AX}(\mathbf{BA}{)}^{\mathrm{T}}\\ & =(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{AX}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\mathbf{W}& =\mathbf{FZ}+\mathbf{HR}\\ & =\mathbf{FBAX}+\mathbf{H}(\mathbf{C}+\mathbf{GB})\mathbf{AX}\\ & =(\mathbf{FB}+\mathbf{HC}+\mathbf{HGB})\mathbf{AX}\\ \Rightarrow {\mathbf{D}}_{RW}& =(\mathbf{C}+\mathbf{GB}){\mathbf{AXA}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{FB}+\mathbf{HC}+\mathbf{HGB}{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

例 6

已知独立观测值 $L_1,L_2$ 的中误差分别为 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$，求下列函数的中误差：

1. $x=L_1-2L_2$
2. $y=\frac{1}{2}{L}_1^2+L_1{L}_2$
3. $z=\frac{\sin L_1}{\sin (L_1+L_2)}$

---

由于 $L_1,L_2$ 相互独立，协方差为零，因此观测值向量 $\mathbf{L}=[L_1,L_2{]}^{\mathrm{T}}$ 的自协方差阵为

$${\mathbf{D}}_{LL}=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& {\sigma }_2^2\end{array}\right]$$

1. $x=L_1-2L_2$

   $$\begin{array}{rl}x& =[1,-2]\mathbf{L}\\ \Rightarrow {\mathbf{D}}_{xx}& =[1,-2]{\mathbf{D}}_{LL}[1,-2{]}^{\mathrm{T}}\\ & =[1,-2]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& {\sigma }_2^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right]\\ & ={\sigma }_1^2+4{\sigma }_2^2\\ \Rightarrow {\sigma }_x& =\sqrt{{\sigma }_1^2+4{\sigma }_2^2}\end{array}$$

2. $y=\frac{1}{2}{L}_1^2+L_1{L}_2$

   $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}y& =L_1\mathrm{d}{L}_1+L_2\mathrm{d}{L}_1+L_1\mathrm{d}{L}_2\\ & =[L_1+L_2,L_1]\mathrm{d}\mathbf{L}\\ \Rightarrow {\mathbf{D}}_{yy}& =[L_1+L_2,L_1]{\mathbf{D}}_{LL}[L_1+L_2,L_1{]}^{\mathrm{T}}\\ & =[L_1+L_2,L_1]\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& {\sigma }_2^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{L}_1+L_2\\ L_1\end{array}\right]\\ & =(L_1+L_2{)}^2{\sigma }_1^2+L_1^2{\sigma }_2^2\\ \Rightarrow {\sigma }_y& =\sqrt{(L_1+L_2{)}^2{\sigma }_1^2+L_1^2{\sigma }_2^2}\end{array}$$

3. $z=\frac{\sin L_1}{\sin (L_1+L_2)}$

   $$\begin{array}{rl}\mathrm{d}z& =\frac{\sin L_2}{{\sin }^2(L_1+L_2)}\mathrm{d}{L}_1-\frac{\sin L_1\cos (L_1+L_2)}{{\sin }^2(L_1+L_2)}\mathrm{d}{L}_2\\ \Rightarrow {\mathbf{D}}_{ZZ}& =\left[\frac{\sin L_2}{{\sin }^2(L_1+L_2)},-\frac{\sin L_1\cos (L_1+L_2)}{{\sin }^2(L_1+L_2)}\right]{\mathbf{D}}_{LL}\left[\begin{array}{c}\frac{\sin L_2}{{\sin }^2(L_1+L_2)}\\ -\frac{\sin L_1\cos (L_1+L_2)}{{\sin }^2(L_1+L_2)}\end{array}\right]\\ & =\frac{{\sigma }_1^2{\sin }^2{L}_2}{{\sin }^4(L_1+L_2)}+\frac{{\sigma }_2^2{\sin }^2{L}_1{\cos }^2(L_1+L_2)}{{\sin }^4(L_1+L_2)}\\ \Rightarrow {\sigma }_z& =\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2{\sin }^2{L}_2}{{\sin }^4(L_1+L_2)}+\frac{{\sigma }_2^2{\sin }^2{L}_1{\cos }^2(L_1+L_2)}{{\sin }^4(L_1+L_2)}}\end{array}$$