6 间接平差

建模

间接平差（参数平差）的核心是：先选定参数，再用参数表达观测值。

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 参数个数（独立）：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$

线性函数模型

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{B}\hat{\mathit{X}}+\mathit{d}$$

其中：

• $\mathit{B}\in {\mathbb{R}}^{n\times t}$：设计矩阵，且 $\mathrm{rank}(\mathit{B})=t$
• $\mathit{d}\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$：已知常向量（起算数据等）

令

$$\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\mathit{X}}_0-\mathit{d}$$

得到误差方程

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}$$

随机模型为

$$\mathit{D}={\sigma }_0^2\mathit{Q}={\sigma }_0^2{\mathit{P}}^{-1}$$

TIP

非线性模型（如边长、角度方程）先在近似值处一阶线性化，再按上式组建 $\mathit{B},\mathit{l}$，通常需迭代至改正数足够小。

求解

目标函数取最小：

$${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$$

在约束 $\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}$ 下，设联系数向量 ${\mathit{k}}_{n\times 1}$，得拉格朗日条件极值函数：

$$\mathit{\Phi }={\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}(\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{V}-\mathit{l})=min$$$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi }}{\mathrm{d}\mathit{V}}& =2{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}\Rightarrow \mathit{k}=\mathit{P}\mathit{V}\\ \frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi }}{\mathrm{d}\hat{\mathit{x}}}& =2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{B}=\mathbf{0}\Rightarrow {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=\mathbf{0}\end{array}\Rightarrow {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=\mathbf{0}$$$$\{\begin{array}{l}\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}\Rightarrow \mathit{B}\hat{\mathit{x}}=\mathit{V}+\mathit{l}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=\mathbf{0}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{rl}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\hat{\mathit{x}}& ={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}(\mathit{V}+\mathit{l})\\ & =\cancel{{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}+{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}\end{array}$$

令 ${\mathit{N}}_{bb}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}$，$\mathit{U}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$，得法方程

$${\mathit{N}}_{bb}\hat{\mathit{x}}-\mathit{U}=\mathbf{0}$$

故

$$\hat{\mathit{x}}={\mathit{N}}_{bb}^{-1}\mathit{U}={\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$$

再求

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l},\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

最终公式

令 $\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\mathit{X}}_0-\mathit{d}$，有

$$\hat{\mathit{x}}={\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$$

则可求得改正结果

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l},\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

精度评定

参数估值协因数阵

$${\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}$$$${\mathit{D}}_{\hat{x}\hat{x}}={\sigma }_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}$$

平差观测值协因数阵

由

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{B}\hat{\mathit{X}}+\mathit{d}=\mathit{B}({\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}})+\mathit{d}$$

可得

$${\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathit{B}{\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}{\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}$$$${\mathit{D}}_{\hat{L}\hat{L}}={\sigma }_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$$

残差协因数阵

$${\mathit{Q}}_{VV}=\mathit{Q}-{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathit{Q}-\mathit{B}{\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}$$

并有

$${\mathit{Q}}_{\hat{L}V}=\mathbf{0}$$

即平差值与残差不相关。

单位权方差估值

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}$$

参数函数精度

若

$$\hat{\mathit{F}}=\mathit{M}\hat{\mathit{X}}+{\mathit{M}}_0$$

则

$${\mathit{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}=\mathit{M}{\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}{\mathit{M}}^{\mathrm{T}},{\mathit{D}}_{\hat{F}\hat{F}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}$$

附有限制条件的间接平差

模型

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathit{L}}=\mathit{B}\hat{\mathit{X}}+\mathit{d}\\ \mathit{C}\hat{\mathit{X}}+{\mathit{C}}_0=\mathbf{0}\end{array}$$

令

$$\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\mathit{X}}_0-\mathit{d},{\mathit{W}}_x=-(\mathit{C}{\mathit{X}}_0+{\mathit{C}}_0)$$

得

$$\{\begin{array}{l}\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}\\ \mathit{C}\hat{\mathit{x}}-{\mathit{W}}_x=\mathbf{0}\end{array}$$

解算

由最小二乘与拉格朗日法可得块法方程

$$\left[\begin{array}{cc}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}& {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\\ \mathit{C}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{\mathit{x}}\\ \mathit{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}\\ {\mathit{W}}_x\end{array}\right]$$

解出 $\hat{\mathit{x}}$ 后仍有

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l},\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

应用要点

• 测边网：参数取待定点坐标，观测方程为边长函数，对坐标线性化后列误差方程
• 测角网：参数仍为坐标，观测方程为角度函数（方向角差），需在近似坐标处线性化
• 边角网：同时列边长与角度方程，权阵按角度与边长精度统一处理（含单位换算与可能相关权）
• 回归 / 拟合问题也可看成间接平差：参数为模型系数，观测方程为函数值方程

公式总结

平差步骤	公式
列参数方程	$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}$，$\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\mathit{X}}_0-\mathit{d}$
组成法方程	${\mathit{N}}_{bb}\hat{\mathit{x}}-\mathit{U}=\mathbf{0}$，${\mathit{N}}_{bb}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}$，$\mathit{U}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$
法方程解	$\hat{\mathit{x}}={\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$
计算改正数	$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}$
参数 / 观测平差值	$\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}}$，$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$
单位权方差估值	${\hat{\sigma }}_0^2={\displaystyle \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}}$
协因数阵	${\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}$，${\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathit{B}{\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}$，${\mathit{Q}}_{VV}=\mathit{Q}-{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$