6 法截弧与大地线

一个很常见的问题：从点 $A$ 到点 $B$ ，哪条路径是最短的？例如规划飞机或轮船的航线。

我们都知道两点之间，直线段最短。不过那是在平面上，地球不是平面。

如果把地球处理为一个球，那么其表面上连接两点的最短路径是大圆的一条劣弧，也就是过 $A, B$ 和球心 $O$ 的平面与球相交所得到的路径。这也称为大圆航线。可是如果考虑扁率，将地球作为椭球来处理，要如何找出这条线呢？

法截弧

一种很自然的想法是，尝试改用铅垂线构面，截椭球得到弧。换句话说就是取法截线的一部分。

定义 $A$ 到 $B$ 的法截弧为：由椭球面上 $A$ 点的法线与 $B$ 点所确定的法截面，与椭球面相割得到的曲线。

这里有一个问题：用 $A$ 点法线构造且过 $B$ 的法截面，和 $B$ 点法线构造且过 $A$ 的法截面，是同一个吗？

推导过程

利用我们在第 3 节和第 4 节中推过的式子，有位置向量 $r$ 和法向量 $n$ ：

r = N cos B cos L N cos B sin L N (1 - e^{2}) sin B n = cos B cos L cos B sin L sin B

不妨取 $A$ 点位置向量为 $r_{1}$ ， $B$ 为 $r_{2}$ 。直线 $A B$ 的方向我们可以定义一个 $l$ 表示：

l = \frac{1}{N} (r_{1} - r_{2}) = cos B_{1} cos L_{1} - cos B_{2} cos L_{2} cos B_{1} sin L_{1} - cos B_{2} sin L_{2} (1 - e^{2}) (sin B_{1} - sin B_{2})

如果两个法截面是同一个，意味着 $n_{1}, n_{2}, l$ 共面，三个向量线性相关，有实数 $p, q$ 满足

l = p n_{1} + q n_{2}

展开，待定系数求 $p, q$ ：

cos B_{1} cos L_{1} - cos B_{2} cos L_{2} cos B_{1} sin L_{1} - cos B_{2} sin L_{2} (1 - e^{2}) sin B_{1} - (1 - e^{2}) sin B_{2} = p cos B_{1} cos L_{1} + q cos B_{2} cos L_{2} = p cos B_{1} sin L_{1} + q cos B_{2} sin L_{2} = p sin B_{1} + q sin B_{2}

两个变量，三个方程。如果这些系数值各不相同，考虑前两个方程，那就应该有 $p = 1, q = - 1$ ，可是这样就不符合第三个方程了。这意味着对于一般情况， $p, q$ 是无解的，也就是说三个向量不在一个平面内，两个法截面不重合。

考虑一些特殊情况。如果 $A, B$ 都在赤道面上， $sin B_{1} = sin B_{2} = 0$ ，第三个方程消失，此时有解。或者 $A, B$ 在同一条子午线上， $L_{1} = L_{2}$ ，前两个方程的经度项全部约去，退化为同一个方程，此时有解。但这明显不是普遍情况。

推导结果告诉我们： $B$ 点的法线，通常不在 $A$ 点这个法截面上。换言之， $A$ 点的法线和 $B$ 点的法线通常是异面直线，找不到一个平面既过 $A$ 点的法线、又过 $B$ 点的法线。

如此一来， $A$ 和 $B$ 之间便可以画出两条法截弧：其中一条过 $A$ 点的法线和 $B$ 点，另一条过 $A$ 点和 $B$ 点的法线。根据上面的定义，它们分别称为「 $A$ 到 $B$ 的法截弧」「 $B$ 到 $A$ 的法截弧」。这样的两条法截弧称为相对法截弧。

下面是一幅交互式图形，展示了椭球上 $A, B$ 两点各自法向量、法截面，以及截出的两条相对法截弧。可以拖动 $A, B$ 两点，观察法截弧形态的变化。

这样来看，法截弧会是最短路径吗？不能相信直觉。我们接下来从数学手段推导。