5 地球椭球上的弧长与面积
椭球面的第一基本形式
在微分几何的曲面论中，曲面的三个基本形式是研究曲面的整体性质及局部几何性质的有力工具，可用来列出曲面的基本方程，在此讨论对大地测量计算及地图投影十分有用的椭球面的第一基本形式。
设椭球面上一点 的位置向量为 ，其邻近的一点 的位置向量为 。若舍去 的二阶以上小量，则有微分关系式：
若 两点无限接近，即 ，可将 定义为曲面上两个无限临近点之间的距离 ，满足
这里的 指的是 而非 。
此二次全微分式称为曲面的第一基本形式，也称为曲面的线素。其中的 是常数系数，称为曲面的第一基本形式的系数，亦称为一阶基本量。
根据我们在 上一节 子午圈和平行圈切向量部分中推导的结果，有
又因为子午圈切向量 和平行圈切向量 是垂直的，所有有
代入前面的式子就得到了
我们知道对于圆弧来说，圆弧的长度等于圆心角乘以半径。对于非圆弧来说，可以用曲率半径替换半径。这里 是子午圈曲率半径， 是平行圈半径，所以这个式子很好理解： 其实就是 在子午圈上投影的长， 就是在平行圈上投影的长， 具有类似勾股定理的形式，十分优美。
我们接下来详细讨论一下子午圈和平行圈的弧长。
子午线弧长
同一条子午线上的大地经度 都相同，因此 。所以有
要求从纬度 到 的子午线弧长，则对上式积分
将被积函数按二项式作级数展开，可以得到其计算式。式子非常繁杂，此处就不再展开了。
对于不太长的子午线弧长，可采用展开成两端点纬度差 的幂级数展开式，作为系数的各阶导数则可在平均纬度 处取值。经过一些近似处理，可以得到：
回忆泰勒公式并推导
也就是有一个原函数 满足 ，那么 。
为了简化书写，令 ，那么就有 ，。
回忆高等数学中介绍过的 泰勒公式：对于任意足够光滑的函数 ，可以用多项式逼近它：
所以将 在 处展开：
同理，把 换成 ：
将两式相减。偶次项由于 不变号，全部抵消了，只剩奇次项：
将 带回：
整理系数：
一般只取前两项。写完整一些，教材给出的形式是：
我们知道 其实就是 ，将其记作 。所以就有
我们来研究 是什么。
两边取对数：
恒等式两边对 求导：
再求导：
又根据导数除法公式：
所以
这里的第二项带有 ，我们将其舍去。再进一步，分母的 接近于 ，我们将其当做 处理，也就是认为：
带回到 就有
教材在这里使用了前面章节的一些推导结果，最后式子里的是第二偏心率 而非第一偏心率 。实际上 和 的差值是 阶的量，也就是有 ，而推导过程中我们已经舍去了 阶的量，所以这里使用 还是 对精度没有影响。
实际上，由于 和 在定义上是同构的，二者在推导上具有很强的对称性。一般来说，对于有意义的量，选择使用 和 表达的两个式子通常也具有相似的结构，不会有明显简化。
当 时，使用上式计算子午线弧长可精确到 。
当所求的弧长更短时，可以再进一步，只取一项，也就是直接将子午线作为圆弧处理：
上式在 时仍可精确到 。
若已知子午线一端点纬度 ，根据其子午线弧长 来求另一端点纬度 ，需要使用迭代法。
需要先求得 的初始值 ：
其中的 来源于前面我们略去不提的的二项式展开：
每次迭代：
了解即可。
平行圈半径与弧长
平行圈都是圆，所以简单很多。
根据椭球的参数方程，纬度为 的平行圈的半径即为
对于平行圈上经差为 的一段弧长
利用经纬格网计算椭球面的面积
按一定间隔的一组经线及一组纬线构成了地球椭球面上的经纬格网。借此可度量椭球面的整个面积或其上一个局部区域的面积。
考虑某处经差 、纬差 的一个格子。由于经线和纬线正交，这个格子的面积可以表达为长乘宽：
我们在 上一节 子午圈和平行圈切向量部分中算过了 和 ，二者的模长分别为：
所以
于是椭球面上区域 的面积 应为
对于经线和纬线围出的区域，有