8 地图投影

地图投影：建立椭球面与投影平面上点与点之间的对应关系。

设椭球面上的大地坐标为 $(B,L)$，投影到平面上的直角坐标为 $(x,y)$。二者之间的对应关系通过投影方程表示：

$$\{\begin{array}{l}x=F_1(B,L)\\ y=F_2(B,L)\end{array}$$

投影变形及其描述

长度比、等量纬度及其表示式

长度比 $m$ 定义为投影平面上微分长度 $\mathrm{d}s$ 与椭球面上相应微分长度 $\mathrm{d}S$ 之比：

$$m=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}S}$$

我们在 第 5 节 已经介绍过椭球面上微分长度 $\mathrm{d}S$ 可以用第一基本形式表达为：

$$\mathrm{d}{S}^2=(M\mathrm{d}B{)}^2+(N\cos B\mathrm{d}L{)}^2$$

我们将弧长的经线方向分量定义为 $\mathrm{d}{s}_m=M\mathrm{d}B$，纬线方向分量定义为 $\mathrm{d}{s}_{\rho }=N\cos B\mathrm{d}L$。从赤道向两极，平行圈半径 $N\cos B$ 不断缩小，因此相同的经纬度变化对应两个方向的弧长变化是不同的。也就是说当 $\mathrm{d}B=\mathrm{d}L$ 时 $\mathrm{d}{s}_m\ne \mathrm{d}{s}_{\rho }$，在椭球面上形成类似长方形的形状。

为此我们引入等量纬度 $q$，使得相同角度量的 $\mathrm{d}q$ 与 $\mathrm{d}L$ 所对应的椭球面上的弧长相同。这样可以把椭球面分成无限小的正方形，简化长度比计算公式，也有助于推导高斯正形投影公式。

不难发现令 $\mathrm{d}q=\frac{M\mathrm{d}B}{N\cos B}$，则当 $\mathrm{d}q=\mathrm{d}L$ 时，$\mathrm{d}{s}_m=\mathrm{d}{s}_{\rho }$。因此有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{S}^2& =N^2{\cos }^{2}B\left(\frac{M^2\mathrm{d}{B}^2}{N^2{\cos }^{2}B}+\mathrm{d}{L}^2\right)\\ & =N^2{\cos }^{2}B(\mathrm{d}{q}^2+\mathrm{d}{L}^2)\end{array}$$

对 $\mathrm{d}q$ 与 $\mathrm{d}B$ 的关系式两端积分可以得到：

$$q={\int }_0^B\frac{M}{N\cos B}\mathrm{d}B=\ln \tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{B}{2}\right)+\frac{e}{2}\cdot \frac{1-e\sin B}{1+e\sin B}$$

再引入等量经度 $l$ 为某点的大地经度 $L$ 与某参考子午线经度 $L_0$ 之差，即 $l=L-L_0$。

由此，可以使用 $(q,l)$ 代替大地坐标 $(B,L)$ 表达椭球面上某点的位置。如此，投影方程式可以重新表达为

$$\{\begin{array}{l}x=f_1(q,l)\\ y=f_2(q,l)\end{array}$$

对上式两端求微分得到

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}x& =\frac{\partial x}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial x}{\partial l}\mathrm{d}l\\ \mathrm{d}y& =\frac{\partial y}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial y}{\partial l}\mathrm{d}l\end{array}$$

投影平面上微分长度 $\mathrm{d}s$ 可以表达为 $\mathrm{d}{s}^2=\mathrm{d}{x}^2+\mathrm{d}{y}^2$。将上式代入并展开可以得到

$$\mathrm{d}{s}^2=\left[{\left(\frac{\partial x}{\partial q}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial q}\right)}^2\right]\mathrm{d}{q}^2+2\left(\frac{\partial x}{\partial q}\frac{\partial x}{\partial l}+\frac{\partial y}{\partial q}\frac{\partial y}{\partial l}\right)\mathrm{d}q\mathrm{d}l+\left[{\left(\frac{\partial x}{\partial l}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial l}\right)}^2\right]\mathrm{d}{l}^2$$

设三个系数：

$$\begin{array}{rl}E& ={\left(\frac{\partial x}{\partial q}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial q}\right)}^2\\ F& =\frac{\partial x}{\partial q}\frac{\partial x}{\partial l}+\frac{\partial y}{\partial q}\frac{\partial y}{\partial l}\\ G& ={\left(\frac{\partial x}{\partial l}\right)}^2+{\left(\frac{\partial y}{\partial l}\right)}^2\end{array}$$

则式子表达为：

$$\mathrm{d}{s}^2=E\mathrm{d}{q}^2+2F\mathrm{d}q\mathrm{d}l+G\mathrm{d}{l}^2$$

这个形式很熟悉，是曲面的第一基本形式，$E,F,G$ 是第一基本形式的三个系数。不过这里的曲面不再是椭球面，而是投影平面——平面是曲面的特例。

于是有

$$m^2=\frac{E\mathrm{d}{q}^2+2F\mathrm{d}q\mathrm{d}l+G\mathrm{d}{l}^2}{N^2{\cos }^{2}B(\mathrm{d}{q}^2+\mathrm{d}{l}^2)}$$

为考察长度比 $m$ 与微分弧段 $\mathrm{d}s$ 的方位角 $A$ 的关系，利用关系式

$$\tan A=\frac{N\cos B\mathrm{d}l}{M\mathrm{d}B}=\frac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}q}$$

于是 $m$ 的表达式化为

$$m^2=\frac{E{\cos }^{2}A+2F\cos A\sin A+G{\sin }^{2}A}{N^2{\cos }^{2}B}$$

由上式可知，就一般的地图投影而言，长度比是一个变量，不仅与点位有关，而且也随该点所处方位不同而变化。

令 $A=0^{\circ },180^{\circ }$，得经线方向上的长度比：

$$m_L=\frac{\sqrt{E}}{N\cos B}$$

令 $A=90^{\circ },270^{\circ }$，的纬线方向上的长度比：

$$M_B=\frac{\sqrt{G}}{N\cos B}$$

在同一个点上，若要使其长度比与方向无关，则再确定投影方程式时，要使

$$\{\begin{array}{l}E=G\\ F=0\end{array}$$

此时就有

$$m=\frac{\sqrt{E}}{N\cos B}=\frac{\sqrt{G}}{N\cos B}$$

定义长度比与 $1$ 之差为投影长度相对变形 $v_m$，简称为长度变形，即有

$$v_m=m-1=\frac{\mathrm{d}s-\mathrm{d}S}{\mathrm{d}S}$$

在整个投影平面上作任何一种投影或多或少都会产生一些长度变形，其值或正或负。通过附加一定的投影条件，可以使某些点、线上的投影变形为零。

按变形性质的投影分类

• 等角投影：投影前后的角度不变形，投影的长度比与方向无关。即某点的长度比是一个常数。等角投影也称为正形投影。
• 等积投影：投影前后的面积不变形。
• 任意投影：既不等角又不等积

等角投影和等积投影不能共存。