图论基础 学习笔记

Index

图论 (Graph theory) 是数学的一个分支，图是图论的主要研究对象。图 (Graph) 是由若干给定的顶点及连接两顶点的边所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系。顶点用于代表事物，连接两顶点的边则用于表示两个事物间具有这种关系。

图

WARNING

图论相关定义在不同教材中往往会有所不同，遇到的时候需根据上下文加以判断。

图 (graph) 是一个二元组 $G=(V(G),E(G))$。其中 $V(G)$ 是非空集，称为 点集 (vertex set)，对于 $V$ 中的每个元素，我们称其为 顶点 (vertex) 或 节点 (node)，简称 点；$E(G)$ 为 $V(G)$ 各结点之间边的集合，称为 边集 (edge set)。

常用 $G=(V,E)$ 表示图。

当 $V,E$ 都是有限集合时，称 $G$ 为 有限图。

当 $V$ 或 $E$ 是无限集合时，称 $G$ 为 无限图。

图有多种，包括 无向图 (undirected graph)，有向图 (directed graph)，混合图 (mixed graph) 等。

若 $G$ 为无向图，则 $E$ 中的每个元素为一个无序二元组 $(u,v)$，称作 无向边 (undirected edge)，简称 边 (edge)，其中 $u,v\in V$。设 $e=(u,v)$，则 $u$ 和 $v$ 称为 $e$ 的 端点 (endpoint)。

若 $G$ 为有向图，则 $E$ 中的每一个元素为一个有序二元组 $(u,v)$，有时也写作 $u\to v$，称作 有向边 (directed edge) 或 弧 (arc)，在不引起混淆的情况下也可以称作 边 (edge)。设 $e=u\to v$，则此时 $u$ 称为 $e$ 的 起点 (tail)，$v$ 称为 $e$ 的 终点 (head)，起点和终点也称为 $e$ 的 端点 (endpoint)。并称 $u$ 是 $v$ 的直接前驱，$v$ 是 $u$ 的直接后继。

若 $G$ 为混合图，则 $E$ 中既有 有向边，又有 无向边。

若 $G$ 的每条边 $e_k=(u_k,v_k)$ 都被赋予一个数作为该边的 权，则称 $G$ 为 赋权图。如果这些权都是正实数，就称 $G$ 为 正权图。

图 $G$ 的点数 $|V(G)|$ 也被称作图 $G$ 的 阶 (order)。

形象地说，图是由若干点以及连接点与点的边构成的。

相邻

在无向图 $G=(V,E)$ 中，若点 $v$ 是边 $e$ 的一个端点，则称 $v$ 和 $e$ 是 关联的 (incident) 或 相邻的 (adjacent)。对于两顶点 $u$ 和 $v$，若存在边 $(u,v)$，则称 $u$ 和 $v$ 是 相邻的 (adjacent)。

一个顶点 $v\in V$ 的 邻域 (neighborhood) 是所有与之相邻的顶点所构成的集合，记作 $N(v)$。

一个点集 $S$ 的邻域是所有与 $S$ 中至少一个点相邻的点所构成的集合，记作 $N(S)$，即：

$$N(S)=\bigcup _{v\in S}N(v)$$

简单图

自环 (loop)：对 $E$ 中的边 $e=(u,v)$，若 $u=v$，则 $e$ 被称作一个自环。

重边 (multiple edge)：若 $E$ 中存在两个完全相同的元素（边）$e_1,e_2$，则它们被称作（一组）重边。

简单图 (simple graph)：若一个图中没有自环和重边，它被称为简单图。具有至少两个顶点的简单无向图中一定存在度相同的结点。(鸽巢原理)

如果一张图中有自环或重边，则称它为 多重图 (multigraph)。

WARNING

在题目中，如果没有特殊说明，是可以存在自环和重边的，在做题时需特殊考虑。

度数

与一个顶点 $v$ 关联的边的条数称作该顶点的 度 (degree)，记作 $d(v)$。特别地，对于边 $(v,v)$，则每条这样的边要对 $d(v)$ 产生 $2$ 的贡献。

对于无向简单图，有 $d(v)=|N(v)|$。

握手定理（又称图论基本定理）：对于任何无向图 $G=(V,E)$，有 $\sum _{v\in V}d(v)=2\left|E\right|$。

推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

若 $d(v)=0$，则称 $v$ 为 孤立点 (isolated vertex)。

若 $d(v)=1$，则称 $v$ 为 叶节点 (leaf vertex)/ 悬挂点 (pendant vertex)。

若 $2\mid d(v)$，则称 $v$ 为 偶点 (even vertex)。

若 $2\nmid d(v)$，则称 $v$ 为 奇点 (odd vertex)。图中奇点的个数是偶数。

若 $d(v)=\left|V\right|-1$，则称 $v$ 为 支配点 (universal vertex)。

对一张图，所有节点的度数的最小值称为 $G$ 的 最小度 (minimum degree)，记作 $\delta (G)$；最大值称为 最大度 (maximum degree)，记作 $\mathrm{\Delta }(G)$。即：$\delta (G)=\underset{v\in G}{min}d(v)$，$\mathrm{\Delta }(G)=\underset{v\in G}{max}d(v)$。

在有向图 $G=(V,E)$ 中，以一个顶点 $v$ 为起点的边的条数称为该顶点的 出度 (out-degree)，记作 $d^{+}(v)$。以一个顶点 $v$ 为终点的边的条数称为该节点的 入度 (in-degree)，记作 $d^{-}(v)$。显然 $d^{+}(v)+d^{-}(v)=d(v)$。

对于任何有向图 $G=(V,E)$，有：

$$\sum _{v\in V}{d}^{+}(v)=\sum _{v\in V}{d}^{-}(v)=\left|E\right|$$

若对一张无向图 $G=(V,E)$，每个顶点的度数都是一个固定的常数 $k$，则称 $G$ 为 $k$- 正则图 ($k$-regular graph)。

如果给定一个序列 a，可以找到一个图 G，以其为度数列，则称 a 是 可图化 的。

如果给定一个序列 a，可以找到一个简单图 G，以其为度数列，则称 a 是 可简单图化 的。

路径

途径 (walk)：途径是连接一连串顶点的边的序列，可以为有限或无限长度。形式化地说，一条有限途径 $w$ 是一个边的序列 $e_1,e_2,\dots ,e_k$，使得存在一个顶点序列 $v_0,v_1,\dots ,v_k$ 满足 $e_i=(v_{i-1},v_i)$，其中 $i\in [1,k]$。这样的途径可以简写为 $v_0\to v_1\to v_2\to \cdots \to v_k$。通常来说，边的数量 $k$ 被称作这条途径的 长度（如果边是带权的，长度通常指途径上的边权之和，题目中也可能另有定义）。

迹 (trail)：对于一条途径 $w$，若 $e_1,e_2,\dots ,e_k$ 两两互不相同，则称 $w$ 是一条迹。

路径 (path)（又称 简单路径 (simple path)）：对于一条迹 $w$，若其连接的点的序列中点两两不同，则称 $w$ 是一条路径。

回路 (circuit)：对于一条迹 $w$，若 $v_0=v_k$，则称 $w$ 是一条回路。

环 / 圈 (cycle)（又称 简单回路 / 简单环 (simple circuit)）：对于一条回路 $w$，若 $v_0=v_k$ 是点序列中唯一重复出现的点对，则称 $w$ 是一个环。

WARNING

这个名词的歧义尤其多，具体问题中应该视语境具体判断。

子图

对一张图 $G=(V,E)$，若存在另一张图 $H=(V^{\prime },E^{\prime })$ 满足 $V^{\prime }\subseteq V$ 且 $E^{\prime }\subseteq E$，则称 $H$ 是 $G$ 的 子图 (subgraph)，记作 $H\subseteq G$。

若对 $H\subseteq G$，满足 $\mathrm{\forall }u,v\in V^{\prime }$，只要 $(u,v)\in E$，均有 $(u,v)\in E^{\prime }$，则称 $H$ 是 $G$ 的 导出子图 / 诱导子图 (induced subgraph)。

容易发现，一个图的导出子图仅由子图的点集决定，因此点集为 $V^{\prime }$($V^{\prime }\subseteq V$) 的导出子图称为 $V^{\prime }$ 导出的子图，记作 $G\left[V^{\prime }\right]$。

若 $H\subseteq G$ 满足 $V^{\prime }=V$，则称 $H$ 为 $G$ 的 生成子图 / 支撑子图 (spanning subgraph)。

显然，$G$ 是自身的子图，支撑子图，导出子图；无边图 是 $G$ 的支撑子图。原图 $G$ 和无边图都是 $G$ 的平凡子图。

如果一张无向图 $G$ 的某个生成子图 $F$ 为 $k$- 正则图，则称 $F$ 为 $G$ 的一个 $k$- 因子 ($k$-factor)。

如果有向图 $G=(V,E)$ 的导出子图 $H=G\left[V^{\ast }\right]$ 满足 $\mathrm{\forall }v\in V^{\ast },(v,u)\in E$，有 $u\in V^{\ast }$，则称 $H$ 为 $G$ 的一个 闭合子图 (closed subgraph)。

连通

无向图

对于一张无向图 $G=(V,E)$，对于 $u,v\in V$，若存在一条途径使得 $v_0=u,v_k=v$，则称 $u$ 和 $v$ 是 连通的 (connected)。由定义，任意一个顶点和自身连通，任意一条边的两个端点连通。

若无向图 $G=(V,E)$，满足其中任意两个顶点均连通，则称 $G$ 是 连通图 (connected graph)，$G$ 的这一性质称作 连通性 (connectivity)。

若 $H$ 是 $G$ 的一个连通子图，且不存在 $F$ 满足 $H⊊F\subseteq G$ 且 $F$ 为连通图，则 $H$ 是 $G$ 的一个 连通块 / 连通分量 (connected component)（极大连通子图）。

有向图

对于一张有向图 $G=(V,E)$，对于 $u,v\in V$，若存在一条途径使得 $v_0=u,v_k=v$，则称 $u$ 可达 $v$。由定义，任意一个顶点可达自身，任意一条边的起点可达终点。（无向图中的连通也可以视作双向可达。）

若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是 强连通的 (strongly connected)。

若一张有向图的边替换为无向边后可以得到一张连通图，则称原来这张有向图是 弱连通的 (weakly connected)。

与连通分量类似，也有 弱连通分量 (weakly connected component)（极大弱连通子图）和 强连通分量 (strongly connected component)（极大强连通子图）。

割

在本部分中，有向图的「连通」一般指「强连通」。

对于连通图 $G=(V,E)$，若 $V^{\prime }\subseteq V$ 且 $G[V\setminus V^{\prime }]$（即从 $G$ 中删去 $V^{\prime }$ 中的点）不是连通图，则 $V^{\prime }$ 是图 $G$ 的一个 点割集 (vertex cut/separating set)。大小为一的点割集又被称作 割点 (cut vertex)。

对于连通图 $G=(V,E)$ 和整数 $k$，若 $|V|\ge k+1$ 且 $G$ 不存在大小为 $k-1$ 的点割集，则称图 $G$ 是 $k$- 点连通的 ($k$-vertex-connected)，而使得上式成立的最大的 $k$ 被称作图 $G$ 的 点连通度 (vertex connectivity)，记作 $\kappa (G)$。（对于非完全图，点连通度即为最小点割集的大小，而完全图 $K_n$ 的点连通度为 $n-1$。）

对于图 $G=(V,E)$ 以及 $u,v\in V$ 满足 $u\ne v$，$u$ 和 $v$ 不相邻，$u$ 可达 $v$，若 $V^{\prime }\subseteq V$，$u,v\notin V^{\prime }$，且在 $G[V\setminus V^{\prime }]$ 中 $u$ 和 $v$ 不连通，则 $V^{\prime }$ 被称作 $u$ 到 $v$ 的点割集。$u$ 到 $v$ 的最小点割集的大小被称作 $u$ 到 $v$ 的 局部点连通度 (local connectivity)，记作 $\kappa (u,v)$。

还可以在边上作类似的定义：

对于连通图 $G=(V,E)$，若 $E^{\prime }\subseteq E$ 且 $G^{\prime }=(V,E\setminus E^{\prime })$（即从 $G$ 中删去 $E^{\prime }$ 中的边）不是连通图，则 $E^{\prime }$ 是图 $G$ 的一个 边割集 (edge cut)。大小为一的边割集又被称作 桥 (bridge)。

对于连通图 $G=(V,E)$ 和整数 $k$，若 $G$ 不存在大小为 $k-1$ 的边割集，则称图 $G$ 是 $k$- 边连通的 ($k$-edge-connected)，而使得上式成立的最大的 $k$ 被称作图 $G$ 的 边连通度 (edge connectivity)，记作 $\lambda (G)$。（对于任何图，边连通度即为最小边割集的大小。）

对于图 $G=(V,E)$ 以及 $u,v\in V$ 满足 $u\ne v$，$u$ 可达 $v$，若 $E^{\prime }\subseteq E$，且在 $G^{\prime }=(V,E\setminus E^{\prime })$ 中 $u$ 和 $v$ 不连通，则 $E^{\prime }$ 被称作 $u$ 到 $v$ 的边割集。$u$ 到 $v$ 的最小边割集的大小被称作 $u$ 到 $v$ 的 局部边连通度 (local edge-connectivity)，记作 $\lambda (u,v)$。

点双连通 (biconnected) 几乎与 $2$- 点连通完全一致，除了一条边连接两个点构成的图，它是点双连通的，但不是 $2$- 点连通的。换句话说，没有割点的连通图是点双连通的。

边双连通 ($2$-edge-connected) 与 $2$- 边双连通完全一致。换句话说，没有桥的连通图是边双连通的。

与连通分量类似，也有 点双连通分量 (biconnected component)（极大点双连通子图）和 边双连通分量 ($2$-edge-connected component)（极大边双连通子图）。

Whitney 定理：对任意的图 $G$，有 $\kappa (G)\le \lambda (G)\le \delta (G)$。（不等式中的三项分别为点连通度、边连通度、最小度。）

稀疏图 / 稠密图

若一张图的边数远小于其点数的平方，那么它是一张 稀疏图 (sparse graph)。

若一张图的边数接近其点数的平方，那么它是一张 稠密图 (dense graph)。

这两个概念并没有严格的定义，一般用于讨论 时间复杂度 为 $O(|V{|}^2)$ 的算法与 $O(|E|)$ 的算法的效率差异（在稠密图上这两种算法效率相当，而在稀疏图上 $O(|E|)$ 的算法效率明显更高）。

补图

对于无向简单图 $G=(V,E)$，它的 补图 (complement graph) 指的是这样的一张图：记作 $\overline{G}$，满足 $V\left(\overline{G}\right)=V\left(G\right)$，且对任意节点对 $(u,v)$，$(u,v)\in E\left(\overline{G}\right)$ 当且仅当 $(u,v)\notin E\left(G\right)$。

反图

对于有向图 $G=(V,E)$，它的 反图 (transpose graph) 指的是点集不变，每条边反向得到的图，即：若 $G$ 的反图为 $G^{\prime }=(V,E^{\prime })$，则 $E^{\prime }=\{(v,u)|(u,v)\in E\}$。

特殊的图

若无向简单图 $G$ 满足任意不同两点间均有边，则称 $G$ 为 完全图 (complete graph)，$n$ 阶完全图记作 $K_n$。若有向图 $G$ 满足任意不同两点间都有两条方向不同的边，则称 $G$ 为 有向完全图 (complete digraph)。

边集为空的图称为 无边图 (edgeless graph)、空图 (empty graph) 或 零图 (null graph)，$n$ 阶无边图记作 ${\bar{K}}_n$ 或 $N_n$。$N_n$ 与 $K_n$ 互为补图。

WARNING

零图 (null graph) 也可指 零阶图 (order-zero graph) $K_0$，即点集与边集均为空的图。

若有向简单图 $G$ 满足任意不同两点间都有恰好一条边（单向），则称 $G$ 为 竞赛图 (tournament graph)。

若无向简单图 $G=(V,E)$ 的所有边恰好构成一个圈，则称 $G$ 为 环图 / 圈图 (cycle graph)，$n$($n\ge 3$) 阶圈图记作 $C_n$。易知，一张图为圈图的充分必要条件是，它是 $2$- 正则连通图。

若无向简单图 $G=(V,E)$ 满足，存在一个点 $v$ 为支配点，其余点之间没有边相连，则称 $G$ 为 星图 / 菊花图 (star graph)，$n+1$($n\ge 1$) 阶星图记作 $S_n$。

若无向简单图 $G=(V,E)$ 满足，存在一个点 $v$ 为支配点，其它点之间构成一个圈，则称 $G$ 为 轮图 (wheel graph)，$n+1$($n\ge 3$) 阶轮图记作 $W_n$。

若无向简单图 $G=(V,E)$ 的所有边恰好构成一条简单路径，则称 $G$ 为 链 (chain/path graph)，$n$ 阶的链记作 $P_n$。易知，一条链由一个圈图删去一条边而得。

如果一张无向连通图不含环，则称它是一棵 树 (tree)。

如果一张无向连通图包含恰好一个环，则称它是一棵 基环树 (pseudotree)。

如果一张有向弱连通图每个点的入度都为 $1$，则称它是一棵 基环外向树。

如果一张有向弱连通图每个点的出度都为 $1$，则称它是一棵 基环内向树。

多棵树可以组成一个 森林 (forest)，多棵基环树可以组成 基环森林 (pseudoforest)，多棵基环外向树可以组成 基环外向树森林，多棵基环内向树可以组成 基环内向森林 (functional graph)。

如果一张无向连通图的每条边最多在一个环内，则称它是一棵 仙人掌 (cactus)。多棵仙人掌可以组成 沙漠。

如果一张图的点集可以被分为两部分，每一部分的内部都没有连边，那么这张图是一张 二分图 (bipartite graph)。如果二分图中任何两个不在同一部分的点之间都有连边，那么这张图是一张 完全二分图 (complete bipartite graph/biclique)，一张两部分分别有 $n$ 个点和 $m$ 个点的完全二分图记作 $K_{n,m}$。

如果一张图可以画在一个平面上，且没有两条边在非端点处相交，那么这张图是一张 平面图 (planar graph)。一张图的任何子图都不是 $K_5$ 或 $K_{3,3}$ 是其为一张平面图的充要条件。对于简单连通平面图 $G=(V,E)$ 且 $V\ge 3$，$|E|\le 3|V|-6$。

参考资料

图论 - 维基百科，自由的百科全书

图论相关概念 - OI Wiki