字符串哈希 学习笔记

我们定义一个把字符串映射到整数的函数 $f$，这个 $f$ 称为是 Hash 函数。

我们希望这个函数 $f$ 可以方便地帮我们判断两个字符串是否相等。

Hash 的思想

Hash 的核心思想在于，将输入映射到一个值域较小、可以方便比较的范围。

这里的「值域较小」在不同情况下意义不同。

在 哈希表 中，值域需要小到能够接受线性的空间与时间复杂度。

在字符串哈希中，值域需要小到能够快速比较（${10}^9$、${10}^{18}$ 都是可以快速比较的）。

同时，为了降低哈希冲突率，值域也不能太小。

性质

具体来说，哈希函数最重要的性质可以概括为下面两条：

1. 在 Hash 函数值不一样的时候，两个字符串一定不一样；

2. 在 Hash 函数值一样的时候，两个字符串不一定一样（但有大概率一样，且我们当然希望它们总是一样的）。

   我们将 Hash 函数值一样但原字符串不一样的现象称为哈希碰撞。

解释

我们需要关注的是什么？

时间复杂度和 Hash 的准确率。

通常我们采用的是多项式 Hash 的方法，对于一个长度为 $l$ 的字符串 $s$ 来说，我们可以这样定义多项式 Hash 函数：$f(s)=\sum _{i=1}^{l}s[i]\times b^{l-i}(\mathrm{mod}M)$。例如，对于字符串 $xyz$，其哈希函数值为 $x{b}^2+yb+z$。

特别要说明的是，也有很多人使用的是另一种 Hash 函数的定义，即 $f(s)=\sum _{i=1}^{l}s[i]\times b^{i-1}(\mathrm{mod}M)$，这种定义下，同样的字符串 $xyz$ 的哈希值就变为了 $x+yb+z{b}^2$ 了。

显然，上面这两种哈希函数的定义函数都是可行的，但二者在之后会讲到的计算子串哈希值时所用的计算式是不同的，因此千万注意 不要弄混了这两种不同的 Hash 方式。

由于前者的 Hash 定义计算更简便、使用人数更多、且可以类比为一个 $b$ 进制数来帮助理解，所以本文下面所将要讨论的都是使用 $f(s)=\sum _{i=1}^{l}s[i]\times b^{l-i}(\mathrm{mod}M)$ 来定义的 Hash 函数。

还有，有时为了方便和扩大模数，我们在 C++ 中我们会使用 unsigned long long 来定义 Hash 函数的结果。由于 C++ 的特性，我们相当于把模数 $M$ 定为 $2^{64}$，也是一个不错的选择。

准确率会在后面讨论。

Hash 的错误率分析

Hash 冲突

Hash 冲突是指两个不同的字符串映射到相同的 Hash 值。

我们设 Hash 的取值空间（所有可能出现的字符串的数量）为 $d$，计算次数（要计算的字符串数量）为 $n$。

则 Hash 冲突的概率为：

$$p(n,d)=\frac{d!}{d^n(d-n)!}\approx 1-\exp (-\frac{n(n-1)}{2d})$$

证明

当 Hash 中每个值生成概率相同时，Hash 不冲突的概率为：

$$\bar{p}(n,d)=1\cdot (1-\frac{1}{d})\cdot (1-\frac{2}{d})\cdots (1-\frac{n-1}{d})$$

化简得到：

$$\begin{array}{rl}\bar{p}(n,d)& =\frac{d}{d}\cdot \frac{d-1}{d}\cdot \frac{d-2}{d}\cdots \frac{d-n+1}{d}\\ & =\frac{d\cdot (d-1)\cdot (d-2)\cdots (d-n+1)}{d^n}\\ & =\frac{d!}{d^n(d-n)!}\end{array}$$

则 Hash 冲突的概率为：

$$p(n,d)=1-\frac{d!}{d^n(d-n)!}$$

这个公式还是太复杂了，我们进一步化简。

根据泰勒公式：

$$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots$$

当 $x$ 为一个极小值时，$\exp (x)$ 趋近于 $1+x$。

将它带入 Hash 不冲突的原始公式：

$$\bar{p}(n,d)\approx 1\cdot \exp (-\frac{1}{d})\cdot \exp (-\frac{2}{d})\cdots \exp (-\frac{n-1}{d})$$

化简：

$$\begin{array}{rl}\bar{p}(n,d)& \approx \exp (-\frac{1}{d}-\frac{2}{d}-\cdots -\frac{n-1}{d})\\ & =\exp (-\frac{n(n-1)}{2d})\end{array}$$

则 Hash 冲突的概率为：

$$p(n,d)\approx 1-\exp (-\frac{n(n-1)}{2d})$$

卡大模数 Hash

注意到这个公式：

$$p(n,d)\approx 1-\exp (-\frac{n(n-1)}{2d})$$

为了卡掉 Hash，我们要满足一下条件：

1. $d$ 要大于模数。
2. $1-p(d,n)$ 要尽量小。

举个例子：

若字符集为 大小写字母和数字，模数为 ${10}^9+7$ 时：

${\log }_{62}{10}^9+7\approx 6$

$p({10}^6,{62}^6)\approx 0.9$

所以对于这个范围，我们随机生成 ${10}^6$ 个长度为 $6$ 的字符串，它们 Hash 值相同的概率高达 $90\mathrm{\%}$。

卡自然溢出 Hash

这种 Hash 由于模数太大，用上面的方法卡不了，所以我们需要另一种方法。

首先，这种 Hash 是形如 $f(s)=\sum _{i=1}^{l}s[i]\times b^{l-i}$，我们根据 $b$ 来分类讨论。

b 为偶数

此时 $f(s)=s_1\cdot b^l+s_2\cdot b^{l-1}+\cdots +s_l\cdot b(\mathrm{mod}M)$，其中 $M$ 为 $2^{64}$。

容易发现若 $l\ge 64$，$s_i\cdot b^l\equiv 0(\mathrm{mod}M)$。

所以我们只要构造形如：

aaa...a

baa...a

且长度大于 $64$ 的字符串就能冲突。

b 为奇数

定义 $!s_i$ 为把 $s_i$ 中所有字符反转。

例：

$s_i=abaab$

$!s_i=babba$

即把 a 变成 b，把 b 变成 a。

再定义 $has{h}_i$ 为 $s_i$ 的 Hash 值，$!has{h}_i$ 为 $!s_i$ 的 Hash 值。

不断构造 $s_i=s_{i-1}+!s_{i-1}$。

$s_{12}$ 和 $!s_{12}$ 就是我们要的两个字符串。

推导

$$\begin{array}{r}has{h}_i=has{h}_{i-1}\cdot bas{e}^{2^{i-2}}+!has{h}_{i-1}\\ !has{h}_i=!has{h}_{i-1}\cdot bas{e}^{2^{i-2}}+has{h}_{i-1}\end{array}$$

尝试相减：

$$\begin{array}{rl}& has{h}_i-!has{h}_i\\ =& has{h}_{i-1}\cdot bas{e}^{2^{i-2}}+!has{h}_{i-1}-(!has{h}_{i-1}\cdot bas{e}^{2^{i-2}}+has{h}_{i-1})\\ =& (has{h}_{i-1}-!has{h}_{i-1})\cdot (bas{e}^{2^{i-2}}-1)\end{array}$$

发现出现了 $2^i$，但是原式太复杂，尝试换元：

设：

$$\begin{array}{r}{f}_i=has{h}_i-!has{h}_i\\ g_i=bas{e}^{2^{i-2}}-1\end{array}$$

根据原式得：

$$\begin{array}{rl}{f}_i& =f_{i-1}\cdot g_i\\ & =f_1\cdot g_1\cdot g_2\cdots g_{i-1}\end{array}$$

因为 $bas{e}^{2^{i-2}}$ 一定是奇数，所以 $g_i$ 一定是偶数。

所以：

$$2^{i-1}|f_i$$

但这样太大了，$i-1\ge 64$ 才能卡掉，继续化简：

$$g_i=bas{e}^{2^{i-2}}-1=(bas{e}^{2^{i-3}}-1)\cdot (bas{e}^{2^{i-3}}+1)$$

即 $g_i$ 为 $g_{i-1}\cdot c(c\equiv 0(\mathrm{mod}2))$ 的形式。

所以 $2|s_1$，$4|s_2$...，即

$$\begin{array}{rlr}& 2^i& |g_i\\ & 2^1\cdot 2^2\cdot 2^3\cdots 2^{i-1}& |f_i\\ & 2^{i(i-1)/2}& |f_i\end{array}$$

即当 $i=12$ 时就可以使 $2^{64}|has{h}_i-!has{h}_i$ 达到要求。

多值 Hash

看了上面这么多的卡法，当然也有解决办法。

多值 Hash，就是有多个 Hash 函数，每个 Hash 函数的模数不一样，这样就能解决 Hash 冲突的问题。

判断时只要有其中一个的 Hash 值不同，就认为两个字符串不同，若 Hash 值都相同，则认为两个字符串相同。

一般来说，双值 Hash 就够用了。

多次询问子串哈希

单次计算一个字符串的哈希值复杂度是 $O(n)$，其中 $n$ 为串长，与暴力匹配没有区别，如果需要多次询问一个字符串的子串的哈希值，每次重新计算效率非常低下。

一般采取的方法是对整个字符串先预处理出每个前缀的哈希值，将哈希值看成一个 $b$ 进制的数对 $M$ 取模的结果，这样的话每次就能快速求出子串的哈希了：

令 $f_i(s)$ 表示 $f(s[1..i])$，即原串长度为 $i$ 的前缀的哈希值，那么按照定义有 $f_i(s)=s[1]\cdot b^{i-1}+s[2]\cdot b^{i-2}+\cdots +s[i-1]\cdot b+s[i]$

现在，我们想要用类似前缀和的方式快速求出 $f(s[l..r])$，按照定义有字符串 $s[l..r]$ 的哈希值为 $f(s[l..r])=s[l]\cdot b^{r-l}+s[l+1]\cdot b^{r-l-1}+\cdots +s[r-1]\cdot b+s[r]$

对比观察上述两个式子，我们发现 $f(s[l..r])=f_r(s)-f_{l-1}(s)\times b^{r-l+1}$ 成立（可以手动代入验证一下），因此我们用这个式子就可以快速得到子串的哈希值。其中 $b^{r-l+1}$ 可以 $O(n)$ 的预处理出来然后 $O(1)$ 的回答每次询问（当然也可以快速幂 $O(\log n)$ 的回答每次询问）。

Hash 的应用

字符串匹配

求出模式串的哈希值后，求出文本串每个长度为模式串长度的子串的哈希值，分别与模式串的哈希值比较即可。

允许 $k$ 次失配的字符串匹配

问题：给定长为 $n$ 的源串 $s$，以及长度为 $m$ 的模式串 $p$，要求查找源串中有多少子串与模式串匹配。$s^{\prime }$ 与 $s$ 匹配，当且仅当 $s^{\prime }$ 与 $s$ 长度相同，且最多有 $k$ 个位置字符不同。其中 $1\le n,m\le {10}^6$，$0\le k\le 5$。

这道题无法使用 KMP 解决，但是可以通过哈希 + 二分来解决。

枚举所有可能匹配的子串，假设现在枚举的子串为 $s^{\prime }$，通过哈希 + 二分可以快速找到 $s^{\prime }$ 与 $p$ 第一个不同的位置。之后将 $s^{\prime }$ 与 $p$ 在这个失配位置及之前的部分删除掉，继续查找下一个失配位置。这样的过程最多发生 $k$ 次。

总的时间复杂度为 $O(m+kn{\log }_{2}m)$。

最长回文子串

二分答案，判断是否可行时枚举回文中心（对称轴），哈希判断两侧是否相等。需要分别预处理正着和倒着的哈希值。时间复杂度 $O(n\log n)$。

这个问题可以使用 manacher 算法 在 $O(n)$ 的时间内解决。

通过哈希同样可以 $O(n)$ 解决这个问题，具体方法就是记 $R_i$ 表示以 $i$ 作为结尾的最长回文的长度，那么答案就是 $\underset{i=1}{\overset{n}{max}}{R}_i$。考虑到 $R_i\le R_{i-1}+2$，因此我们只需要暴力从 $R_{i-1}+2$ 开始递减，直到找到第一个回文即可。记变量 $z$ 表示当前枚举的 $R_i$，初始时为 $0$，则 $z$ 在每次 $i$ 增大的时候都会增大 $2$，之后每次暴力循环都会减少 $1$，故暴力循环最多发生 $2n$ 次，总的时间复杂度为 $O(n)$。

最长公共子字符串

问题：给定 $m$ 个总长不超过 $n$ 的非空字符串，查找所有字符串的最长公共子字符串，如果有多个，任意输出其中一个。其中 $1\le m,n\le {10}^6$。

很显然如果存在长度为 $k$ 的最长公共子字符串，那么 $k-1$ 的公共子字符串也必定存在。因此我们可以二分最长公共子字符串的长度。假设现在的长度为 $k$，check(k) 的逻辑为我们将所有所有字符串的长度为 $k$ 的子串分别进行哈希，将哈希值放入 $n$ 个哈希表中存储。之后求交集即可。

时间复杂度为 $O(m+n\log n)$。

确定字符串中不同子字符串的数量

问题：给定长为 $n$ 的字符串，仅由小写英文字母组成，查找该字符串中不同子串的数量。

为了解决这个问题，我们遍历了所有长度为 $l=1,\cdots ,n$ 的子串。对于每个长度为 $l$，我们将其 Hash 值乘以相同的 $b$ 的幂次方，并存入一个数组中。数组中不同元素的数量等于字符串中长度不同的子串的数量，并此数字将添加到最终答案中。

为了方便起见，我们将使用 $h[i]$ 作为 Hash 的前缀字符，并定义 $h[0]=0$。

例题

CF1200E Compress Words

给你若干个字符串，答案串初始为空。第 $i$ 步将第 $i$ 个字符串加到答案串的后面，但是尽量地去掉重复部分（即去掉一个最长的、是原答案串的后缀、也是第 $i$ 个串的前缀的字符串），求最后得到的字符串。

字符串个数不超过 ${10}^5$，总长不超过 ${10}^6$。

题解

每次需要求最长的、是原答案串的后缀、也是第 $i$ 个串的前缀的字符串。枚举这个串的长度，哈希比较即可。