向量 学习笔记

在本文之前，特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因，数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。

在物理学科，一般翻译成「矢量」，并且与「标量」一词相对。在数学学科，一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」，等等。

在此处，主要面向计算机等工程类相关学科，与数学学科关系更近一些，因此采用「向量」这个词汇。

定义及相关概念

向量：既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量，即只要不改变它的大小和方向，起点和终点可以任意平行移动的向量。记作 $\overrightarrow{a}$ 或 $\mathit{a}$。

有向线段：带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素：起点，方向，长度，知道了三要素，终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。

向量的模：有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。记为：$|\overrightarrow{AB}|$ 或 $|\mathit{a}|$。

零向量：模为 $0$ 的向量。零向量的方向任意。记为：$\overrightarrow{0}$ 或 $\mathbf{0}$。

单位向量：模为 $1$ 的向量称为该方向上的单位向量。一般记为 $\overrightarrow{e}$ 或 $\mathit{e}$。

平行向量：方向相同或相反的两个 非零 向量。记作：$\mathit{a}\parallel \mathit{b}$。对于多个互相平行的向量，可以任作一条直线与这些向量平行，那么任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫 共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。

相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的夹角：已知两个非零向量 $\mathit{a},\mathit{b}$，作 $\overrightarrow{OA}=\mathit{a},\overrightarrow{OB}=\mathit{b}$，那么 $\theta =\mathrm{\angle }AOB$ 就是向量 $\mathit{a}$ 与向量 $\mathit{b}$ 的夹角。记作：$⟨\mathit{a},\mathit{b}⟩$。显然当 $\theta =0$ 时两向量同向，$\theta =\pi$ 时两向量反向，$\theta =\frac{\pi }{2}$ 时两向量垂直，记作 $\mathit{a}\perp \mathit{b}$，并且规定 $\theta \in [0,\pi ]$。

注意到平面向量具有方向性，两个向量不能比较大小（但可以比较两向量的模长）。但是两个向量可以相等。

向量的线性运算

向量的加减法

在定义了一种量之后，就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算，从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。

类比物理学中的位移概念，假如一个人从 $A$ 经 $B$ 走到 $C$，那么他经过的位移为 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，这其实等价于这个人直接从 $A$ 走到 $C$，即 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。

注意到力的合成法则 —— 平行四边形法则，同样也可以看做一些向量相加。

整理一下向量的加法法则：

1. 向量加法的三角形法则：若要求和的向量首尾顺次相连，那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
2. 向量加法的平行四边形法则：若要求和的两个向量 共起点，那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证，向量的加法满足 交换律与结合律。

因为实数的减法可以写成加上相反数的形式，考虑在向量做减法时也这么写。即：$\mathit{a}-\mathit{b}=\mathit{a}+(-\mathit{b})$。

这样，考虑共起点的向量，按照平行四边形法则做出它们的差，经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。

有时候有两点 $A,B$，想知道 $\overrightarrow{AB}$，可以利用减法运算 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ 获得。

向量的数乘

规定「实数 $\lambda$ 与向量 $\mathit{a}$ 的积」为一个向量，这种运算就是向量的 数乘运算，记作 $\lambda \mathit{a}$，它的长度与方向规定如下：

1. $|\lambda \mathit{a}|=|\lambda ||\mathit{a}|$；
2. 当 $\lambda >0$ 时，$\lambda \mathit{a}$ 与 $\mathit{a}$ 同向，当 $\lambda =0$ 时，$\lambda \mathit{a}=\mathbf{0}$，当 $\lambda <0$ 时，$\lambda \mathit{a}$ 与 $\mathit{a}$ 方向相反。

根据数乘的定义，可以验证有如下运算律：

$$\begin{array}{rl}\lambda (\mu \mathit{a})& =(\lambda \mu )\mathit{a}\\ (\lambda +\mu )\mathit{a}& =\lambda \mathit{a}+\mu \mathit{a}\\ \lambda (\mathit{a}+\mathit{b})& =\lambda \mathit{a}+\lambda \mathit{b}\end{array}$$

特别地：

$$\begin{array}{c}(-\lambda )\mathit{a}=-(\lambda \mathit{a})=-\lambda (\mathit{a})\\ \lambda (\mathit{a}-\mathit{b})=\lambda \mathit{a}-\lambda \mathit{b}\end{array}$$

判定两向量共线

两个 非零 向量 $\mathit{a}$ 与 $\mathit{b}$ 共线 $⟺$ 有唯一实数 $\lambda$，使得 $\mathit{b}=\lambda \mathit{a}$。

证明：由数乘的定义可知，对于 非零 向量 $\mathit{a}$，如果存在实数 $\lambda$，使得 $\mathit{b}=\lambda \mathit{a}$，那么 $\mathit{a}\parallel \mathit{b}$。

反过来，如果 $\mathit{a}\parallel \mathit{b}$，$\mathit{a}\ne \mathbf{0}$，且 $|\mathit{b}|=\mu |\mathit{a}|$，那么当 $\mathit{a}$ 与 $\mathit{b}$ 同向时，$\mathit{b}=\mu \mathit{a}$，反向时 $\mathit{b}=-\mu \mathit{a}$。

最后，向量的加，减，数乘统称为向量的线性运算。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

定理内容：如果两个向量 ${\mathit{e}}_{\mathbf{1}},{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}$ 不共线，那么存在唯一实数对 $(x,y)$，使得与 ${\mathit{e}}_{\mathbf{1}},{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}$ 共面的任意向量 $\mathit{p}$ 满足 $\mathbf{p}=x{\mathit{e}}_{\mathbf{1}}+y{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}$。

平面向量那么多，怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量？

只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的，最多只能表示出某条直线上的向量。

再加入一个向量，用两个 不共线 向量表示（两个共线向量在此可以看成同一个向量），这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。

在同一平面内的两个不共线的向量称为 基底。如果基底相互垂直，那么在分解的时候就是对向量 正交分解。

平面向量的坐标运算

平面向量线性运算

由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算，主要方法是将坐标全部化为用基底表示，然后利用运算律进行合并，之后表示出运算结果的坐标形式。

若两向量 $\mathit{a}=(m,n)$，$\mathit{b}=(p,q)$，则：

$$\begin{array}{rl}\mathit{a}+\mathit{b}& =(m+p,n+q)\\ \mathit{a}-\mathit{b}& =(m-p,n-q)\\ k\mathit{a}& =(km,kn)\end{array}$$

求一个向量的坐标表示

已知两点 $A(a,b),B(c,d)$，易证 $\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)$。

平移一点

有时需要将一个点 $P$ 沿一定方向平移某单位长度，这样把要平移的方向和距离组合成一个向量，利用向量加法的三角形法则，将 $\overrightarrow{OP}$ 加上这个向量，得到的向量终点即为平移后的点。

三点共线的判定

若 $A,B,C$ 三点共线，则 $\overrightarrow{OB}=\lambda \overrightarrow{OA}+(1-\lambda )\overrightarrow{OC}$。

三点共线判定的拓展

在三角形 $ABC$ 中，若 $D$ 为 $BC$ 的 $n$ 等分点（$nBD=kDC$），则有：$\overrightarrow{AD}=\frac{n}{k+n}\overrightarrow{AB}+\frac{k}{k+n}\overrightarrow{AC}$

在三维空间中的拓展（立体几何 / 空间向量）

在空间中，以上部分所述的所有内容均成立。更有：

空间向量基本定理

定理内容：如果两个向量 ${\mathit{e}}_{\mathbf{1}},{\mathit{e}}_{\mathbf{2}},{\mathit{e}}_{\mathbf{3}}$ 不共面，那么存在唯一实数对 $(x,y,z)$，使得空间中任意向量 $\mathit{p}$ 满足 $\mathbf{p}=x{\mathit{e}}_{\mathbf{1}}+y{\mathit{e}}_{\mathbf{2}}+z{\mathit{e}}_{\mathbf{3}}$。 根据空间向量基本定理，我们同样可以使用三个相互垂直的基底 ${\mathit{e}}_{\mathbf{1}},{\mathit{e}}_{\mathbf{2}},{\mathit{e}}_{\mathbf{3}}$ 作为正交基底，建立 空间直角坐标系 并用一个三元组 $(x,y,z)$ 作为坐标表示空间向量。

共面向量基本定理

如果存在两个不共线的向量 $\mathit{x},\mathit{y}$, 则向量 $\mathit{p}$ 与 $\mathit{x},\mathit{y}$ 共面的充要条件是存在唯一实数对 $(a,b)$ 使得 $\mathit{p}=a\mathit{x}+b\mathit{y}$。

方向向量

空间直线的方向用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线的一个方向向量。直线在空间中的位置，由它经过的空间一点及它的一个方向向量 完全确定。

注意，平面中的直线也有方向向量。

对于 空间 中的直线，对其方向向量有以下求法：

• 若有 $A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$，则 $AB$ 所在直线的一个方向向量为 $\mathit{s}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。

• 若已知一个与所求直线 垂直 的平面，该平面一般方程为 $ax+by+cz+d=0$，那么垂直于该平面的直线的一个方向向量为 $\mathit{s}=(a,b,c)$，该方向向量也是该平面的 一个法向量。

法向量

对于一个面 $ABD$，其法向量 $\mathit{n}$ 与这个面垂直。

计算方法：任取两个面内直线 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$，使得 $\overrightarrow{AB}\cdot \mathit{n}=\mathbf{0}$ 且 $\overrightarrow{AD}\cdot \mathit{n}=\mathbf{0}$，利用坐标法即可计算。

扩展

向量与矩阵

矩阵运算的相关法则与向量运算相似，于是考虑将向量写成矩阵形式，这样就将向量问题化为矩阵问题了。详细内容请参考线性代数。

向量旋转

设 $\mathit{a}=(x,y)$，倾角为 $\theta$，长度为 $l=\sqrt{x^2+y^2}$。则 $x=l\cos \theta ,y=l\sin \theta$。令其逆时针旋转 $\alpha$ 度角，得到向量 $\mathit{b}=(l\cos (\theta +\alpha ),l\sin (\theta +\alpha ))$。

由三角恒等变换得，

$$\mathit{b}=(l(\cos \theta \cos \alpha -\sin \theta \sin \alpha ),l(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha ))$$

化简，

$$\mathit{b}=(l\cos \theta \cos \alpha -l\sin \theta \sin \alpha ,l\sin \theta \cos \alpha +l\cos \theta \sin \alpha )$$

把上面的 $x,y$ 代回来得

$$\mathit{b}=(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,y\cos \alpha +x\sin \alpha )$$