卢卡斯定理学习笔记

引入

Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。正常的组合数运算可以通过递推公式求解，但当问题规模很大，而模数是一个不大的质数的时候，就不能简单地通过递推求解来得到答案，需要用到 Lucas 定理。

定义

Lucas 定理内容如下：对于质数 $p$ ，有

(m n) mod p = (⌊ m / p ⌋ ⌊ n / p ⌋) \cdot (m mod p n mod p) mod p

观察上述表达式，可知 $n mod p$ 和 $m mod p$ 一定是小于 $p$ 的数，可以直接求解， $(⌊ m / p ⌋ ⌊ n / p ⌋)$ 可以继续用 Lucas 定理求解。这也就要求 $p$ 的范围不能够太大，一般在 $1 0^{5}$ 左右。边界条件：当 $m = 0$ 的时候，返回 $1$ 。

时间复杂度为 $O (f (p) + g (n) lo g n)$ ，其中 $f (n)$ 为预处理组合数的复杂度， $g (n)$ 为单次求组合数的复杂度。

证明

考虑 $(n p) mod p$ 的取值，注意到 $(n p) = \frac{p !}{n ! ( p - n )!}$ ，分子的质因子分解中 $p$ 的次数恰好为 $1$ ，因此只有当 $n = 0$ 或 $n = p$ 的时候 $n! (p - n)!$ 的质因子分解中含有 $p$ ，因此 $(n p) mod p = [n = 0 \lor n = p]$ 。进而我们可以得出

(a + b)^{p} = n = 0 \sum p (n p) a^{n} b^{p - n} \equiv n = 0 \sum p [n = 0 \lor n = p] a^{n} b^{p - n} \equiv a^{p} + b^{p} (mod p)

注意过程中没有用到费马小定理，因此这一推导不仅适用于整数，亦适用于多项式。因此我们可以考虑二项式 $f^{p} (x) = (a x^{n} + b x^{m})^{p} mod p$ 的结果

(a x^{n} + b x^{m})^{p} \equiv a^{p} x^{p n} + b^{p} x^{p m} \equiv a x^{p n} + b x^{p m} \equiv f (x^{p})

考虑二项式 $(1 + x)^{n} mod p$ ，那么 $(m n)$ 就是求其在 $x^{m}$ 次项的取值。使用上述引理，我们可以得到

(1 + x)^{n} \equiv (1 + x)^{p ⌊ n / p ⌋} (1 + x)^{n mod p} \equiv (1 + x^{p})^{⌊ n / p ⌋} (1 + x)^{n mod p}

注意前者只有在 $p$ 的倍数位置才有取值，而后者最高次项为 $n mod p \leq p - 1$ ，因此这两部分的卷积在任何一个位置只有最多一种方式贡献取值，即在前者部分取 $p$ 的倍数次项，后者部分取剩余项，即 $(m n) mod p = (⌊ m / p ⌋ ⌊ n / p ⌋) \cdot (m mod p n mod p) mod p$ 。

exLucas 定理

Lucas 定理中对于模数 $p$ 要求必须为素数，那么对于 $p$ 不是素数的情况，就需要用到 exLucas 定理。

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