数学分析

必修 考试 学分 5

授课老师：复旦大学航天航空系 谢锡麟

网课：详见 b 站 up 主 力学数学 - 谢锡麟 https://space.bilibili.com/589977552?spm_id_from=333.337.0.0

数学分析是一门涉及事物本质的学科，其中涉及的思想，包括信息分离、因果分解等，都是直指事物本质的。学习数学分析，目标是理解与掌握难以理解与掌握的思想与方法 —— 这对于我们是大有裨益的，也应当是 AI 时代下我们学习的准则。学习数学分析不应当以做题，或者研究做题技巧为目的，而应当力求掌握其中的思想与方法。因此，本课力求阐明思想与方法，所研究者皆为事物之本源，所谓 “正本清源，格物致知” 是也；本课所举例题力求展现思想与方法，避开那些 “计算游戏”；本课的考试题目也力求展现事物的本质，因此大多为证明题，且背景大多出自现实物理世界，以数学的方式反映客观规律。

以上文字系本人亲身体会，与诸位学习数学分析的同学共勉。此外，我很推荐谢老师在 b 站上的公开课，但我并不推荐他写的教科书 —— 因为在视频里他做到了阐明思想与方法，但在书中并没有。他的书写得极为抽象。

考核方式

三次阶段性考试，取最高的两次计入总分，占 50%；

期末考试，占 40%；

平时作业，占 5%，只记录完成次数，不记录正确率。可以选择性完成其中题目；

三次模拟考试的点名，占 5%，来两次即可得满分。

学习方式

周天晚上看往年教学视频；周一到周四进一步学习往年视频 + 今年另一教学班的视频；周五线下课。

常用记号

$B_{\lambda }(x_0)$：球心在 $x_0$ 点、半径为 $\lambda$ 的球。用 B 来表示是因为：球的英文是 ball.

由此衍生出的一些记号如下：

• ${\stackrel{o}{B}}_{\lambda }(x_0)$：上述球去除 $x_0$ 点。因为我们往往在数轴上用 o 表示挖去的点，这里我们沿用过来；

• $B_{\lambda }^{+}(x_0)$：常见于一元微积分中，表示此球只取 $x_0$ 右侧的点；同理，负号则表示左侧；

  ​ 倘若你在 $B$ 头上加一个 o ，那么这将表示：取 $x_0$ 点右侧 $\lambda$ 邻域且不包括 $x_0$ 的点。

$x^i$：看语境。如果是一元微积分，往往表示 $x$ 的 $i$ 次方；如果在高维微积分，往往表示的是向量 $\mathit{x}$ 的第 $i$ 个分量。

本笔记常常用下标表示因果关系，如：

${\delta }_{ϵ}$：由 $ϵ$ 而产生的 $\delta$. 比如在函数极限中，我们对因变量做了一个控制 $ϵ$，则对应自变量有一个限制 ${\delta }_{ϵ}$.

$y_x$：变量 $y$ 是变量 $x$ 的函数。

在高维微积分中，我们往往用英文字母表示自变量的分量，用希腊字母表示因变量的分量，如：

$x^1,...,x^i,...,x^m;f^1(x),...,f^{\alpha }(x),f^n(x).$

WARNING

如果你对以上记号感到困惑，这很正常 —— 因为我也对此感到困惑。

但这终究只是记号，重要的是事物背后的思想与方法。