Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^m$ 及其重要子集

集合 ${\mathbb{R}}^m$ 及距离

我们约定 ${\mathbb{R}}^m$ 是 $m$ 维实向量的集合，每一个 $m$ 维向量都可以表示为 $x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{im})$。这在几何上表示 $m$ 维 Euclid 空间的一个点，$x_{ij}(j=1,2,...,m)$ 被称为点 $x_i$ 的坐标。

类比几何学，我们也可以引入 “距离” 的概念。

定义 1 两点 $x_1,x_2$ 之间的距离为

$$d(x_1,x_2)=\sqrt{\sum _{i=1}^m(x_{1i}-x_{2i}{)}^2}.(1)$$

这是一个映射 $d:{\mathbb{R}}^m\times {\mathbb{R}}^m\to \mathbb{R}$，满足以下性质：

(a)$d(x_1,x_2)>0;$

(b) 非退化性：$d(x_1,x_2)=0\iff x_1=x_2;$

(c) 对称性：$d(x_1,x_2)=d(x_2,x_1);$

(d) 三角不等式：$d(x_1,x_3)\le d(x_1,x_2)+d(x_2,d_3).$

上面的距离函数是定义在 ${\mathbb{R}}^m$ 上的。若一个定义在集合 $X$ 上一组点 $(x_1,x_2)$ 上的距离函数有以上性质，我们称这个函数是 $X$ 上的度量或距离。

集合和给定的它的一个度量被称为度量空间。这样，我们就根据 $(1)$ 式把上面的 ${\mathbb{R}}^m$ 变为一个度量空间。我们会在之后的章节中学习度量空间的性质。在这一章中，我们涉及的度量空间只有 ${\mathbb{R}}^m$，因此我们在这里不给出度量空间的准确定义。

由 $(1)$，对 $\forall i\in \{1,2,...,m\}$，有

$$|x_{1i}-x_{2i}|\le d(x_1,x_2)\le \sqrt{m}\underset{1\le i\le m}{\max }|x_{1i}-x_{2i}|,(2)$$

这说明两点之间的距离远近只与这两个点坐标的靠近程度有关。当 $m=1$ 时，退化为实数集，$d$ 表示两个数的差的绝对值。

${\mathbb{R}}^m$ 上的开集与闭集

开集与闭集的定义

定义 2 对 $\delta >0$，集合

$$B=\{x\in {\mathbb{R}}^m|d(a,x)<\delta \}$$

称为 $a$ 的 $\delta$ 邻域，或称为以 $a$ 为中心、$\delta$ 为半径的球。

定义 3 如果对集合 $G\subset {\mathbb{R}}^m$，如有 $\exists \delta >0$，s.t.

$$B(x;\delta )\subset G,\forall x\in G,$$

则称 $G$ 为开集。

例 1

${\mathbb{R}}^m$ 是开集；

$\varnothing$ 是开集；

集合 $B(a,\delta )$ 是开集。事实上，对 $\forall x\in B(a;\delta ),\forall \xi \in (0,r-d(a,x))$，均有

$$B(x;\xi )\subset B(a;\delta ).$$

因此 $B(a,\delta )$ 为开集；

集合 $G=\{x\in {\mathbb{R}}^m|d(a,x)>r\}$ 是开集，证明方法与上面类似。

定义 4 设有集合 $F\subset {\mathbb{R}}^m$，若它的补集 $G={\mathbb{R}}^m\backslash F$ 是开集，则称 $F$ 为闭集。

例 2

$\bar{B}(a,r)=\{x\in {\mathbb{R}}^m|d(a,x)\le r\}$ 是闭集。这是因为它的补集是开集。这一事实我们在上面已经论述过，这里不再重复。

开闭集的性质

性质 1 (a) (开集的并仍为开集) 设集合 $G=\{G_{\alpha },\alpha \in A\}$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的开集簇，则

$$\bigcup _{\alpha \in A}{G}_{\alpha }仍为开集。$$

(b) (有限开集的交仍为开集) 设 $G_i$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 开集（$i=1,2,...,n$），则

$$\bigcap _{i=1}^n{G}_i仍为开集。$$

(c) (闭集的交仍为闭集) 设集合 $F=\{F_{\alpha },\alpha \in A\}$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的闭集簇，则

$$\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha }仍是闭集。$$

(d) (有限闭集的并仍为闭集) 设 $F_i$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的闭集（$i=1,2,...,n$），则

$$\bigcup _{i=1}^n{F}_i仍为闭集。$$

证明

(a) 任取 $x\in \bigcup _{\alpha \in A}{G}_{\alpha }$，则 $\exists {\alpha }_0,s.t.\exists B(x;\delta )\subset G_{{\alpha }_0}\subset \bigcup _{\alpha \in A}{G}_{\alpha }.$

(b) 任取 $x\in \bigcap _{i=1}^n{G}_i$，取 ${\delta }_1,{\delta }_2,...,{\delta }_n>0,$满足 $B(x;{\delta }_i)\subset G_i$，再取 ${\delta }_0=\min \{{\delta }_1,{\delta }_2,...,{\delta }_n\}$，则有

$$B(x;{\delta }_0)\subset \bigcap _{i=1}^n{G}_i.$$

(c) 设 $\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha }$ 的补集为 $C(\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha })$。事实上，

$$C(\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha })=\bigcup _{\alpha \in A}C{F}_{\alpha }=\bigcup _{\alpha \in A}{G}_{\alpha }$$

由于 $G_{\alpha }$ 是开集，根据 (a) 中结论，可以得到

$$C(\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha })是开集。$$

故 $\bigcap _{\alpha \in A}{F}_{\alpha }$ 是闭集。

(d) 相似地，从 (b) 中我们可以得到：

$$C(\bigcup _{i=1}^n{F}_i)=\bigcap _{i=1}^{n}C{F}_i=\bigcap _{i=1}^n{G}_i$$

因此 $\bigcup _{i=1}^n{F}_i$ 是闭集。$\square$

例 3

集合 $S(a;r)=\{x\in {\mathbb{R}}^m|d(a,x)=r\},r\ge 0$ 是以 $a$ 为中心，$r$ 为半径的球壳。

$S(a;r)$ 在 ${\mathbb{R}}^m$ 上的补集是开集的并，因此 $S(a;r)$ 是闭集。

定义 5 包含一个给定的点 $a$ 的 ${\mathbb{R}}^m$ 上的开集叫做点 $a$ 的邻域。

特别地，在例 1 中给出的 $a$ 的 $\delta$ 邻域就是 $a$ 的邻域之一。

定义 6 对于给定的集合 $E$ 和点 $x\in {\mathbb{R}}^m$，

(1) 如果 $x$ 的一些邻域包含于 $E$，则称 $x$ 为 $E$ 的内部点；

(2) 如果 $x$ 在 $E$ 的补集中是内部点，则称 $x$ 为 $E$ 的外部点；

(3) 如果 $x$ 既不是内部点又不是外部点，则称 $x$ 为 $E$ 的边界点。

边界点有一个特别的性质：它的任何邻域都包含内部点和外部点。

例 4

$S(a;r)$ 是 $B(a;r)$ 和 $\bar{B}(a;r)$ 的共同边界。

点 $a\in {\mathbb{R}}^m$ 是集合 ${\mathbb{R}}^m\backslash a$ 的边界点，这个集合没有外部点。

集合 $S(a;r)$ 上的所有点都是它的边界点。作为 ${\mathbb{R}}^m$ 的子集，$S(a;r)$ 没有内部点。

定义 7 设有 $a\in {\mathbb{R}}^m,E\subset {\mathbb{R}}^m$，若对任意 $a$ 的邻域 $O(a)$，都有 $E\cap O(a)$ 是一个无限集，则称 $a$ 是集合 $E$ 的极限点。

定义 8 集合 $E$ 和它所有极限点的闭集称为集合 $E$ 的闭包。

通常我们将集合 $E$ 的闭包记为 $\bar{E}.$

例 5

上面我们提到了 $\bar{B}(a;r)$，之所以这么命名，是因为 $\bar{B}(a;r)=B(a;r)\cup S(a;r)$，包含了 $B(a;r)$ 和它的极限点，因此是 $B(a;r)$ 的闭包。

$\bar{S}(a;r)=S(a;r).$

为了证明上面这个等式，我们需要引入几个有用的定理。

定理 2 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的闭集 $\iff F=\bar{F}.$

证明

（1）必要性：

用反证法。

假设 $\exists \alpha \notin F,$且 $\alpha$ 是 $F$ 的极限点，

则有 $\alpha$ 是 ${\mathbb{R}}^m\backslash F$ 内部的点。

由 $F$ 是闭集，有 $G={\mathbb{R}}^m\backslash F$ 是一个开集，故 $\exists \delta >0,B(\alpha ;\delta )\subset G,$即

$$B(a;\delta )\cap F=\varnothing .$$

这与 $\alpha$ 是 $F$ 的极限点相矛盾。

所以 $F$ 的所有极限点必在 $F$ 上，因此有

$$F=\bar{F}.$$

（2）充分性：

现有 $F=\bar{F}$，需证 $F$ 是闭集，只需证 $G={\mathbb{R}}^m\backslash F$ 是开集。

设有 $x\in G$，则 $x\notin \bar{F}.$

因此 $x$ 不是 $F$ 的极限点，因此存在 $x$ 的一个邻域 $O(x)$，使得 $O(x)\cap F=\{x_1,x_2,...,x_n\}.$

因为 $x\notin F$，所以可以构造邻域 $O_1(x),O_2(x),...,O_n(x)$，满足 $x_i\notin O_i(x).$

取 $O_0(x)=\bigcap _{i=1}^n{O}_i(x).$

则 $O_0(x)\cap F=\varnothing$，即 $O_0(x)\subset G.$

因此 $G$ 是开集，$F$ 是闭集。$\square$

${\mathbb{R}}^m$ 上的紧集

定义 9 如果从 $K$ 在 ${\mathbb{R}}^m$ 上的每一个开集覆盖中，都可以提取一个有限的覆盖，则称 $F$ 是紧致的。

例 6

闭集 $[a,b]\subset {\mathbb{R}}^1$ 是紧集（这是在一元微积分中学习过的有界闭集的覆盖定理）。

在 ${\mathbb{R}}^m$ 上，可以将闭区间概念进行推广：它是指集合

$$I=\{x\in {\mathbb{R}}^m|a_i\le x_i\le b_i,i=1,2,...,m\}.$$

其中 $a_i,b_i$ 都是某一轴上的坐标。

这被称为 $m$ 维闭区间，或 $m$ 维闭方块，或 $m$ 维平行六面体。

下面我们证明 $I$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的紧集。

证明

用反证法。

假设 $I$ 的所有开集覆盖中，存在一个开集覆盖不能提取出有限覆盖。

我们将每一个坐标闭区间二等分，即将 $I_i=\{x_i\in \mathbb{R}|a_i\le x_i\le b_i\}(i=1,2,...,n)$ 二等分，我们共有 $2^m$ 种选择方法。在这些方法中，必有至少一种不能提取出有限覆盖，设为 $I^1$。对 $I^1$ 重复此过程，得到 $I^2$。一直做下去，有

$$I^1\supset I^2\supset ...\supset I^n\supset ...$$

上面的所有集合都不能提取出有限覆盖。

如果设 $I^n=\{x\in {\mathbb{R}}^m|a_{ni}\le x_i\le b_{ni},i=1,2,...,m\},$

那么对每一个分量 $a_{ni}\le x_i\le b_{ni}$，当 $n$ 足够大时，区间长度都将趋于 0.

根据闭区间套定理，$\exists {\xi }_i\in [a_{ni},b_{ni}],\forall n\in {\mathbb{N}}_{+}.$

于是我们得到向量 $\xi =({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_m).$

由于 $\xi \in I,\exists$ 开集 $G$，使得 $\xi \in G.$

由开集的性质，有 $\exists \delta >0,B(\xi ;\delta )\subset G.$

根据上面的构造，我们可以得到 $\exists N_{\delta }\in {\mathbb{N}}_{+},\text{s.t }{I}_n\subset G,\forall n>N_{\delta }.$

这与 $I_n$ 均不能提取出有限覆盖是矛盾的！

所以 $I$ 是紧集。$\square$

定理 3 如果 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的紧集，则有

(a) $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的闭集；

(b) 所有 ${\mathbb{R}}^m$ 的闭子集，且包含于 $K$，则它也是紧集。

证明

(a) 要证 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的闭集，只需证 $K$ 的所有极限点都在 $K$ 上。

用反证法。假设 $\exists a$ 是 $K$ 的极限点，且 $a\notin K.$

则 $\forall x\in K$，可构造 $x$ 的一个邻域 $G(x)$，$a\notin G(x)$，则 $\exists \delta >0,B(a;\delta )\cap G(x)=\varnothing .$

由于集合 $K$ 是紧集，我们可以构造出有限覆盖 $G(x_1),G(x_2),...,G(x_n)$，

相应地也可以构造 $n$ 个 $a$ 的 $\delta$ 邻域 $B(a;{\delta }_1),B(a;{\delta }_2),...,B(a;{\delta }_n),\text{s.t. }B(a;{\delta }_i)\cap G(x_i)=\varnothing .$

取

$$B(a;\delta )=\bigcap _{i=1}^{n}B(a;{\delta }_i).$$

则 $B(a;\delta )\cap G(x_i)=\varnothing ,\forall i\in \{1,2,...,n\}.$

这与 $a$ 是极限点相矛盾，因为极限点要求任意小的邻域都包含 $K$ 中无限多的元素。

所以 $K=\bar{K}$，即 $K$ 是闭集。

(b) 设 $F$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的闭集，且 $F\subset K.$

设有覆盖 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A},\text{s.t. }F\subset \bigcup _{\alpha \in A}{U}_{\alpha }.$

考虑 $F$ 的补集 $G={\mathbb{R}}^m\backslash F.$

则有 $G\cap (\bigcup _{\alpha \in A}{U}_{\alpha })$ 是 $K$ 的一个覆盖。

根据紧集的定义，此覆盖可选出有限覆盖 $P=G\cap (\bigcup _{i=1}^n{U}_i),\text{s.t. }K\subset P.$

则有 $F\subset P.$

因为 $F\cap G=\varnothing ,$

故有 $F\subset \bigcup _{i=1}^n{U}_i$.

即 $F$ 有有限覆盖。因此 $F$ 是闭集。$\square$

定义 10 集合 $E$ 的半径定义为

$$d(E)=\underset{x_1,x_2\in E}{\sup }d(x_1,x_2).$$

定义 11 若集合 $E$ 的半径是有限量，则称集合 $E$ 是有界的。

定理 4 如果 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的紧集，则 $K$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 上的有界集。

证明

设有 $a\in K$，作球 $B(a;n)(n=1,2,...).$

则球列 $\{B(a;n)\}$ 构成了 $K$ 的一个覆盖。

根据紧集的性质，从球列 $\{B(a;n)\}$ 中必可抽取出有限覆盖。

但倘若 $K$ 无界，则不可能有有界覆盖，矛盾！

因此 $K$ 是有界闭集。$\square$

定理 5 $K\subset {\mathbb{R}}^m$ 是紧集 $\iff K$ 是有界闭集。

证明

(a) 必要性：由定理 4 及定理 3 可得。

(b) 充分性：因为 $K$ 是有界闭集，它是可以被包含在 $m$ 维闭方块 $I$ 的。

前面例题已经证明过：$I$ 是紧集。

由 $K\subset I$，根据定理 3 (b)，有 $K$ 是紧集。$\square$