关于绝对变化率与相对变化率的讨论

• 引理 1：设有向量值映照 $f(x)\in {\mathbb{R}}^3,g(x)\in {\mathbb{R}}^3$，其中 $x\in \mathbb{R}$.

​ 则 $(f(x),g(x){)}_{{\mathbb{R}}^n},f(x)\times g(x)$ 的导数均满足乘积函数求导法则。

证明：（1）$(f(x),g(x){)}_{{\mathbb{R}}^n}=f^1(x)g^1(x)+...+f^n(x)g^n(x).$

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x),g(x){)}_{{\mathbb{R}}^n}=\frac{\text{d}}{\text{d}x}\sum _{i=1}^n{f}^i(x)g^i(x).$$

上式每一项求导均可分为两部分：$f^i$ 求导而 $g^i$ 不求导；$f^i$ 不求导而 $g^i$ 求导。

因此可整理得

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x),g(x){)}_{{\mathbb{R}}^n}=\sum _{i=1}^n\frac{\text{d}{f}^i}{\text{d}x}(x)g^i(x)+\sum _{i=1}^n{f}^i(x)\frac{\text{d}{g}^i}{\text{d}x}(x).$$

可以观察到，两个和式都满足各分量的乘积之和的形式，因此它们都是某两个向量的内积。故有

$$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(f(x),g(x){)}_{{\mathbb{R}}^n}=(\frac{\text{d}f}{\text{d}x}(x),g(x){)}_{{\mathbb{R}}^n}+(f(x),\frac{\text{d}g}{\text{d}x}(x){)}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

这在形式上是与我们常见的一元函数乘积函数求导法则是相同的。

（2）上面我们论证了 $n$ 维向量 $f(x),g(x)$ 的内积。对于外积，我们只考虑三维的情况。

$$\begin{gathered} f(x)\times g(x)=\left|\begin{array}{ccc}{i}_1& i_2& i_3\\ f^1(x)& f^2(x)& f^3(x)\\ g^1(x)& g^2(x)& g^3(x)\end{array}\right| \\ =[f^2(x)g^3(x)-f^3(x)g^2(x)]i_1 \\ +[f^1(x)g^3(x)-f^3(x)g^1(x)]i_2 \\ +[f^1(x)g^2(x)-f^2(x)g^1(x)]i_3 \end{gathered}$$

利用一元乘积函数的求导法则，根据对 $f$ 求导还是对 $g$ 求导，将上式分为两部分，最终得到：

$$\frac{\text{d}(f\times g)}{\text{d}x}(x)=(\frac{\text{d}f}{\text{d}x}\times g)(x)+(f\times \frac{\text{d}g}{\text{d}x})(x).$$

这在形式上也是符合乘积函数求导法则的。

• 引理 2：设有一组单位正交基 $\{e_i(t){\}}_{i=1}^3$，定义运算 ${\delta }_{ij}=(e_i,e_j{)}_{{\mathbb{R}}^3}(t)$，满足

  $${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }i=j,\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$$

  对 ${\delta }_{ij}$ 求导：

  $$\frac{\text{d}}{\text{d}x}(e_i,e_j{)}_{{\mathbb{R}}^3}(t)=({\dot{e}}_i,e_j{)}_{{\mathbb{R}}^3}+(e_i,{\dot{e}}_j{)}_{{\mathbb{R}}^3}=0\in \mathbb{R},\forall i,j\in \{1,2,3\}.$$

  亦即 ${\dot{e}}_i^{\text{T}}{e}_j+e_i^{\text{T}}{\dot{e}}_j=0\in \mathbb{R},\forall i,j\in \{1,2,3\}.$

  将上式写成矩阵形式，则有

  $$\left[\begin{array}{c}{\dot{e}}_1^{\text{T}}\\ {\dot{e}}_2^{\text{T}}\\ {\dot{e}}_3^{\text{T}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{e}_1,e_2,e_3\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{e}_1^{\text{T}}\\ e_2^{\text{T}}\\ e_3^{\text{T}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{e}}_1,{\dot{e}}_2,{\dot{e}}_3\end{array}\right]=0\in {\mathbb{R}}^3.$$

  如果记 $\mathbf{e}(\mathbf{t})=[e_1,e_2,e_3](t),\dot{\mathbf{e}}(\mathbf{t})=[{\dot{e}}_1,{\dot{e}}_2,{\dot{e}}_3]$，那么上式可化为

  $${\dot{\mathbf{e}}}^{\text{T}}\mathbf{e}+{\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}=0\in {\mathbb{R}}^3.$$

  亦即

  $$({\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}{)}^{\text{T}}+{\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}=0.$$

  则 ${\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}$ 是反对称矩阵。根据反对称矩阵的性质，其主对角线上元素均为 0.

• 问题：已知 $\{i_1,i_2,i_3\}$ 为固定的单位正交基，而 $\{e_1,e_2,e_3\}(t)$ 为运动的单位正交基。现有一个物体，其在 $i$ 基上的坐标为 $\stackrel{\mathbf{i}}{\mathbf{b}}(t)$，而在 $e$ 基上的坐标为 $\stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}(t)$。试探究它在 $i$ 基上坐标的变化率与在 $e$ 基上变化率的关系。

  解：

  $$\stackrel{\mathbf{i}}{\mathbf{b}}(t)=\mathbf{e}\stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}(t).$$

  因此

  $$\frac{\text{d}\stackrel{\mathbf{i}}{\mathbf{b}}}{\text{d}t}(t)=\frac{\text{d}\mathbf{e}}{\text{d}t}\cdot \stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}(t)+\mathbf{e}\frac{\text{d}\stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}}{\text{d}t}(t)$$

  后一项是 $\mathbf{b}$ 在 $e$ 基上的相对变化率，即相对速度。

  对于前一项：

  由于 $\mathbf{e}(t)$ 是正交矩阵，因此

  $$\dot{\mathbf{e}}=\mathbf{I}\dot{\mathbf{e}}=\mathbf{e}{\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}=\mathbf{e}({\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}).$$

  注意到 ${\mathbf{e}}^{\text{T}}\dot{\mathbf{e}}$ 是反对称矩阵（根据引理 2），可设为

  $$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right].$$

  因此前一项是

  $$\begin{array}{rl}\mathbf{eA}\stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}(t)& =\left[\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\stackrel{e}{b^1}\\ \stackrel{e}{b^2}\\ \stackrel{e}{b^3}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_2\stackrel{e}{b^3}-{\omega }_3\stackrel{e}{b^2}\\ {\omega }_3\stackrel{e}{b^1}-{\omega }_1\stackrel{e}{b^3}\\ {\omega }_1\stackrel{e}{b^2}-{\omega }_2\stackrel{e}{b^1}\end{array}\right]\\ & =({\omega }_2\stackrel{e}{b^3}-{\omega }_3\stackrel{e}{b^2}){\mathbf{e}}_1+({\omega }_3\stackrel{e}{b^1}-{\omega }_1\stackrel{e}{b^3}){\mathbf{e}}_2+({\omega }_1\stackrel{e}{b^2}-{\omega }_2\stackrel{e}{b^1}){\mathbf{e}}_3\\ & =\left|\begin{array}{ccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& {\mathbf{e}}_3\\ {\omega }_1& {\omega }_2& {\omega }_3\\ \stackrel{e}{b^1}& \stackrel{e}{b^2}& \stackrel{e}{b^3}\end{array}\right|\\ & =\mathbf{\Omega }\times \stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}.\end{array}$$

  其中 $\mathbf{\Omega }={\omega }_1{\mathbf{e}}_1+{\omega }_2{\mathbf{e}}_2+{\omega }_3{\mathbf{e}}_3.$

  这其实是角速度矩阵。

  定理 （单参数向量值映照的绝对变化率与相对变化率的关系）$\mathbf{b}(t)\in {\mathbb{R}}^3$ 在典则基下的变化率与在正交基 $\{{\mathbf{e}}_i{\}}_{i=1}^3$ 下的变化率之间的关系为：

  $$\frac{\text{d}\mathbf{b}}{\text{d}t}(t)=\frac{\text{d}\stackrel{\mathbf{e}}{\mathbf{b}}}{\text{d}t}(t)+\mathbf{\Omega }(t)\times \mathbf{b}(t).$$

  由这个定理可以得出一系列有关牵连速度和牵连加速度的结论。