应用理论

Hölder 不等式

数形 Hölder 不等式

$$\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\le (\sum _{i=1}^n{a}_i^p{)}^{\frac{1}{p}}(\sum _{i=1}^n{b}_i^q{)}^{\frac{1}{q}}$$

其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1,a_i,b_i\ge 0$ 恒成立。

当且仅当 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 中有一个是零数列，或 $\exists c_1,c_2\in {\mathbb{R}}^{+},s.t.c_1{a}_n^p=c_2{b}_n^q$ 对任意的 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立。

积分形式的 Hölder 不等式

设有 $f(x),g(x)\in \Re [a,b]$，则有

$${\int }_a^b|fg|(x)dx\le ({\int }_a^b|f(x){|}^{p}dx{)}^{\frac{1}{p}}({\int }_a^b|g(x){|}^{q}dx{)}^{\frac{1}{q}}$$

其中 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.$

证明：

$$\sum _{i=1}^N|f({\xi }_i)g({\xi }_i)|\Delta x_i=\sum _{i=1}^N|f({\xi }_i)g({\xi }_i)|\Delta x_i^{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}\le (\sum _{i=1}^N|f(x){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}+(\sum _{i=1}^N|g(x){|}^q{)}^{\frac{1}{q}}$$

第二个不等号是根据数形 Hölder 不等式得到的。

两边取极限$|P|\to 0$，即得到积分形式的 Hölder 不等式。

Minkowskii 不等式

设有 $f(x),g(x)\in \Re [a,b],p\ge 1$，则有

$$({\int }_a^b|f(x)+g(x){|}^{p}dx{)}^{\frac{1}{p}}\le ({\int }_a^b|f(x){|}^{p}dx{)}^{\frac{1}{p}}+({\int }_a^b|g(x){|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

Rm: 数形 Minkowskii 不等式

$$(\sum _{i=1}^n|a_i+b_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}\le (\sum _{i=1}^N{a}_i^p{)}^{\frac{1}{p}}+(\sum _{i=1}^n{b}_i^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

其中 $a_i,b_i>0$ 恒成立。

利用数形 Minkowskii 不等式可以证明积分形式的 Minkowskii 不等式，请读者自行证明。

积分形式的 Jensen 不等式

设有 $f(x)$ 下凸，则有

$$f(\frac{{\int }_a^b\theta (t)\phi (t)dt}{{\int }_a^b\theta (t)dt})\le \frac{{\int }_a^b\theta (t)f\circ \phi (t)dt}{{\int }_a^b\theta (t)dt}$$

提示：可用数形 Jensen 不等式结合积分定义证明，证明过程留给读者完成。