应用理论

Hölder 不等式

\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} \leq (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{q})^{\frac{1}{q}}

其中 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, a_{i}, b_{i} \geq 0$ 恒成立。

当且仅当 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 中有一个是零数列，或 $\exists c_{1}, c_{2} \in R^{+}, s . t . c_{1} a_{n}^{p} = c_{2} b_{n}^{q}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立。

设有 $f (x), g (x) \in ℜ [a, b]$ ，则有

\int_{a}^{b} | f g | (x) d x \leq (\int_{a}^{b} | f (x) |^{p} d x)^{\frac{1}{p}} (\int_{a}^{b} | g (x) |^{q} d x)^{\frac{1}{q}}

其中 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$

证明：

\sum_{i = 1}^{N} | f (ξ_{i}) g (ξ_{i}) | Δ x_{i} = \sum_{i = 1}^{N} | f (ξ_{i}) g (ξ_{i}) | Δ x_{i}^{\frac{1}{p} + \frac{1}{q}} \leq (\sum_{i = 1}^{N} | f (x) |^{p})^{\frac{1}{p}} + (\sum_{i = 1}^{N} | g (x) |^{q})^{\frac{1}{q}}

第二个不等号是根据数形 Hölder 不等式得到的。

两边取极限 $| P | \to 0$ ，即得到积分形式的 Hölder 不等式。

设有 $f (x), g (x) \in ℜ [a, b], p \geq 1$ ，则有

(\int_{a}^{b} | f (x) + g (x) |^{p} d x)^{\frac{1}{p}} \leq (\int_{a}^{b} | f (x) |^{p} d x)^{\frac{1}{p}} + (\int_{a}^{b} | g (x) |^{p})^{\frac{1}{p}}

Rm: 数形 Minkowskii 不等式

(\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} + b_{i} |^{p})^{\frac{1}{p}} \leq (\sum_{i = 1}^{N} a_{i}^{p})^{\frac{1}{p}} + (\sum_{i = 1}^{n} b_{i}^{p})^{\frac{1}{p}}

其中 $a_{i}, b_{i} > 0$ 恒成立。

利用数形 Minkowskii 不等式可以证明积分形式的 Minkowskii 不等式，请读者自行证明。

设有 $f (x)$ 下凸，则有

f (\frac{\int_{a}^{b} θ (t) φ (t) d t}{\int_{a}^{b} θ (t) d t}) \leq \frac{\int_{a}^{b} θ (t) f \circ φ (t) d t}{\int_{a}^{b} θ (t) d t}

提示：可用数形 Jensen 不等式结合积分定义证明，证明过程留给读者完成。