等价关系

当两个对象 $a$ 和 $b$ 之间的关系 $\equiv$ 满足以下三条性质时，则称为等价关系：性质 1.（自反性）$a\equiv a$. 性质 2.（对称性）如果 $a\equiv b$，那么 $b\equiv a$. 性质 3.（传递性）如果 $a\equiv b$ 且 $b\equiv c$，那么 $a\equiv c$. 在这个定义中，$\equiv$ 是用来表示任意关系的符号.

势

定义

我们将关系 $\sim$ 定义为：对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，当且仅当存在一个双射 $f:A\to B$ 时 $A\sim B$. 如果 $A\sim B$，那么我们说 $A$ 和 $B$ 是一一对应的，并且 $A$ 和 $B$ 具有相同的基数（或简称势）. 区别. “一一对应” 与一对一函数是不同的. 如果两个集合之间存在既一对一又映上的函数，那么这两个集合就是一一对应的.

势是等价关系

证明：构造函数，证明 [[# 等价关系]] 的三条性质即可.

有限集的势

设 $A$ 和 $B$ 是有限集，那么当且仅当 $A$ 和 $B$ 具有相同数量的元素时 $A\sim B$. 证明：构造双射.

可数性

定义

可数：$A\sim \mathbb{N}$. 至多可数：$A$ 是有限的或者可数的. 不可数：$A$ 是无限的且不是可数的. 注：$A$ 是有限集 $⟺A\sim {\mathbb{N}}_n$. 两个集合的势相同意味着其元素具有相同的数量 “类型”（有限，无限可数或无限不可数）.

势与可数性

对于任意两个集合 $A$ 和 $B$，如果 $A\sim B$，那么 $A$ 和 $B$ 要么是元素个数相同的有限集，要么都是可数集，要么都是不可数集. 注意：逆定理不完全正确.