积分的全局行为（二）—— 积分估计

单点突起类积分极限处理

设有 $f(x)\in \Re [a,b]$，${\phi }_n(x)$ 满足 “单点突起”，即有

$$\begin{array}{rl}& \phi (x)\to +\infty ,x\to x_{\star }\\ & \forall \epsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in [a,x_{\star }-\delta )\cup (x_{\star }+\delta ,b],\phi (x)<\epsilon .\end{array}$$

下面我们给出这种函数的一个示意图，这是 ${\phi }_n(x)=10^6{x}^{10^6}$ 的图象。

我们想要求

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x){\phi }_n(x)\text{d}x.$$

我们可以考虑分三段处理：$[a,x_{\star }-\delta ),[x_{\star }-\delta ,x_{\star }+\delta ],(x_{\star }+\delta ,b].$

$${\int }_a^{x_{\star }-\delta }f(x){\phi }_n(x)\text{d}x<\underset{[a,b]}{\sup }f(x)\epsilon {\int }_a^{x_{\star }-\delta }\text{d}x<\underset{[a,b]}{\sup }f(x)x_{\star }\epsilon \to 0.$$

区间 $(x_{\star }+\delta ,b]$ 同理。

下面处理区间 $[x_{\star }-\delta ,x_{\star }+\delta ].$

根据积分第一中值定理，有

$${\int }_{x_{\star }-\delta }^{x_{\star }+\delta }f(x){\phi }_n(x)=f(x_{\delta }){\int }_{x_{\star }-\delta }^{x_{\star }+\delta }{\phi }_n(x)\text{d}x.$$

一般题目的设定会使右边的积分项为常数 $C$，而左边 $f(x_{\delta })\to f(x_{\star })$，故有

$${\int }_{x_{\star }-\delta }^{x_{\star }+\delta }f(x){\phi }_n(x)=Cf(x_{\star }).$$

综上，有

$${\int }_a^{b}f(x){\phi }_n(x)=Cf(x_{\star }).$$

例 1

已知 $f\in C[0,1]$，求

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(n{\int }_0^1{e}^{-nx}f(x)\text{d}x).$$

解

$$g_n(x)=n{e}^{-nx}$$

易知 $g(x)$ 在 $x=0$ 处单点突起。根据上面推导的结论，只需计算

$${\int }_0^{\delta }n{e}^{-nx}\text{d}x.$$

显见 ${\int }_0^{\delta }n{e}^{-nx}\text{d}x=e^{-nx}{|}_0^{\delta }\to 1$.

则有

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(n{\int }_0^1{e}^{-nx}f(x)\text{d}x)=f(0).$$

思考题

例 2

已知 $f\in C[0,1]$，求

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(\sqrt{n}{\int }_0^{1}f(x){\sin }^{2n}(2\pi x)\text{d}x).$$

Details

笔者没做出来，所以不用找了，这里没答案。

靠你了！！！

下面是我的部分思路，仅供参考。

$$g(x)=\sqrt{n}{\sin }^{2n}(2\pi x).$$

通过求导，易见其为单点突出函数，此点为 $x=\frac{1}{4}.$

根据上面的结论，只需求

$${\int }_{1/4-\delta }^{1/4+\delta }\sqrt{n}{\sin }^{2n}(2\pi x)\text{d}x.$$

进一步化简，只需求

$$\sqrt{n}{\int }_{-\delta }^{+\delta }{\cos }^{2n}t\text{d}t.$$

这个积分的原函数是可求的，但不够优雅；更优雅的做法应该是展开。

$$\begin{array}{rl}& =\sqrt{n}{\int }_{-\delta }^{+\delta }[1+\sum _{i=1}^n\frac{(-1{)}^i}{(2i)!}{t}^i+o(t^n){]}^{2n}\\ & =2\sqrt{n}{\int }_0^{+\delta }[1+2n\sum _{i=1}^n\frac{(-1{)}^i}{(2i)!}{t}^i]\\ & =2\sqrt{n}[t+2n\sum _{i=1}^n\frac{(-1{)}^i}{(2i+1)!}{t}^{2i+1}]{|}_{t=0}^{\delta }\end{array}$$

因此，为消去 $\sqrt{n}$，应取 ${\delta }_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.$

$$=2+o(1).$$

但这种做法的问题在于，为什么分子是 1 而不是其他呢？如果取其他分子，仍然能得到常数，但结果不同。所以取 ${\delta }_n$ 这一步完完全全是错误的。

然后我就不会了。

等我想到我再来填坑。