分析理论的再阐释与补充

积分的定义

Riemann 积分

给定区间 $[a,b]$，设有分割 $P$，分割点分别为 $x_0,x_1,...,x_n.$

我们令

$$a=x_0\le x_1\le x_2\le ...\le x_n=b.$$

设有 $f(x)$ 为定义在 $[a,b]$ 上的有界实函数。对于分割 $P$，我们令

$$M_i=\sup f(x),x\in [x_{i-1},x_i]$$$$m_i=\inf f(x),x\in [x_{i-1},x_i].$$

记

$$U(f;P)=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta x_i.$$$$L(f;P)=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta x_i.$$

其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$

我们把 $U(f;P)$ 叫做 Darboux 大和，把 $L(f;P)$ 叫做 Darboux 小和。

我们又记

$${\overline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}x=\inf U(f;P),(1)$$$${\underline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}x=\sup L(f;P).(2)$$

这里的 $\sup ,\inf$ 遍历所有的分割 $P$.

$(1)$ 式和 $(2)$ 式分别叫做 Riemann 上积分和 Riemann 下积分。

这里的 “上” “下” 可参考数列极限部分的上下极限来理解。

如有

$${\overline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}x={\underline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}x$$

则称 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，记作 $f(x)\in \Re [a,b].$

Riemann 上下积分的结果可记为

$${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x.(3)$$

可以发现，如果 $f(x)\in \Re [a,b]$，则 $f(x)$ 的 Riemann 上下积分必然存在。

因此，我们现在来考虑一般情况下 Riemann 上下积分的存在性。

由于 $f(x)$ 有界，则一定 $\exists m,M\in \mathbb{R},\text{s.t.}$

$$m\le f(x)\le M.$$

因此，对任意的分割 $P$，必定有

$$m(b-a)\le L(f;P)\le U(f;P)\le M(b-a).$$

因此 $L(f;P),U(f;P)$ 有界，因此对任意的有界函数 $f(x)$，其 Riemann 上下积分必定存在。

Riemann-Stieltjes 积分

同样给定区间 $[a,b]$ 和分割 $P$.

我们定义一个函数 $\alpha$，它在区间 $[a,b]$ 上单调递增，显然 $\alpha$ 有界。

我们令 $\Delta {\alpha }_i=\alpha (x_i)-\alpha (x_{i-1}).$

显然 $\Delta {\alpha }_i\ge 0.$

我们记

$$U(f;P;\alpha )=\sum _{i=1}^n{M}_i\Delta {\alpha }_i.(4)$$$$L(f;P;\alpha )=\sum _{i=1}^n{m}_i\Delta {\alpha }_i.(5)$$

仿照 $(1)$ 和 $(2)$，我们定义

$${\overline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}\alpha =\inf U(f;P;\alpha ).(6)$$$${\underline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}\alpha =\sup L(f;P;\alpha ).(7)$$

同样，这里的 $\sup ,\inf$ 遍历所有分割 $P$.

如有

$${\overline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}\alpha ={\underline{\int }}_a^{b}f(x)\text{d}\alpha ,$$

我们记它的值为

$${\int }_a^{b}f\text{d}\alpha .$$

或

$${\int }_a^{b}f(x)\text{d}\alpha (x),$$

而称 $f$ 对 $\alpha$ 可积，记作 $f(x)\in \Re (\alpha ).$

这就是 Riemann-Stieltjes 积分的定义。显然，如果令 $\alpha =x$，我们就能得到 Riemann 积分。

所以 Riemann 积分是 Riemann-Stieltjes 积分的一个特例。

下面，我们统一定义 $f$ 是闭区间上的有界实函数，$\alpha$ 是闭区间上单调上升的函数，

且若没有歧义，我们统一地将 ${\int }_a^b$ 简写为 $\int$。

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Darboux 和分析

现在我们对上面提到的 Darboux 大和 $U(f;P;\alpha )$ 和 Darboux 小和 $L(f;P;\alpha )$ 进行分析。

定义 1：对于两个分割 $P$ 和 $P^{\star }$，如有 $P^{\star }\supseteq P$，则称分割 $P^{\star }$ 是分割 $P$ 的分划细化。

如有两分割 $P_1,P_2$，设 $P^{\star }=P_1\cup P_2$，则称 $P^{\star }$ 为 $P_1$ 和 $P_2$ 的共同分划。

Rm：所谓的 $P^{\star }\supseteq P$，就是指 $P$ 中所有的分点 $x_i$ 都是 $P^{\star }$ 的分点。

所谓的 $P^{\star }=P_1\cup P_2$，就是指 $P_1,P_2$ 中所有的分点 $x_i$ 都是 $P^{\star }$ 的分点。

定理 1：大和不增，小和不减

设分割 $P^{\star }$ 是分割 $P$ 的分划细化，则

$$L(f;P;\alpha )\le L(f;P^{\star };\alpha ),(8)$$$$U(f;P;\alpha )\ge U(f;P^{\star };\alpha ).(9)$$

证明：我们只给出 $(8)$ 式的证明，$(9)$ 式的证明类似，请读者自行完成。

先从最简单的情况考虑。设 $P^{\star }$ 只比 $P$ 多一个分点 $x_{\star }$，且 $x_{\star }\in (x_{i-1},x_i).$

由 Darboux 小和的定义，我们需考虑

$$w_1=\inf f(x),x\in [x_{i-1},x_{\star }],$$$$w_2=\inf f(x),x\in [x_{\star },x_i].$$

进而，我们可以得到

$$L(f;P^{\star };\alpha )-L(f;P;\alpha )=w_1[\alpha (x_{\star })-\alpha (x_{i-1})]+w_2[\alpha (x_i)-\alpha (x_{\star })]-m_i[\alpha (x_i)-\alpha (x_{i-1})].$$

由前面对 $w_1,w_2,m_i$ 的定义，我们可以得到 $w_1\ge m_i,w_2\ge m_i.$

进而

$$L(f;P^{\star };\alpha )-L(f;P;\alpha )\ge 0.$$

倘若 $P^{\star }$ 比 $P$ 多 $n$ 个分点，不妨记为 $P_n$，从而由上面的证明可以得到

$$L(f;P_n;\alpha )\ge L(f;P_{n-1};\alpha )\ge L(f;P_{n-2};\alpha )\ge \cdots \ge L(f;P_1;\alpha )\ge L(f;P;\alpha ).$$

命题成立。

定理 2：下积分与上积分的大小关系

$${\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha \le {\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha .$$

证明：设 $P_1,P_2$ 是两个分割，设分割 $P^{\star }=P_1\cup P_2$，则由定理 1 知，

$$L(f;P_1;\alpha )\le L(f;P^{\star };\alpha )\le U(f;P^{\star };\alpha )\le U(f;P_2;\alpha ).$$

即

$$L(f;P_1;\alpha )\le U(f;P_2;\alpha ).$$

如果固定 $P_2$, 则有

$$\sup L(f;P_1;\alpha )\le U(f;P_2;\alpha ).$$

接下来对右式取 $\inf$，有

$$\sup L(f;P_1;\alpha )\le \inf U(f;P_2;\alpha ).$$

即

$${\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha \le {\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha .$$

证毕。

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振幅和判别法

定理 3

$f\in \Re (\alpha )\iff \forall \epsilon \in {\mathbb{R}}^{+},\exists$ 分割 $P$，s.t.

$$U(f;P;\alpha )-L(f;P;\alpha )<\epsilon .(10)$$

证明:

(1) 充分性：根据 [定理 2](# 定理 2：下积分与上积分的大小关系)，有

$$L(f;P;\alpha )\le {\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha \le {\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha \le U(f;P;\alpha ).$$

因此，有

$${\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha -{\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha \le U(f;P;\alpha )-L(f;P;\alpha )<\epsilon .$$

所以 ${\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha ={\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha$.

因此 $f(x)\in \Re (\alpha ).$

(2) 必要性：$\forall \epsilon >0,\exists$ 分割 $P_1,P_2$，s.t.

$$U(f;P_2;\alpha )-{\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha <\frac{\epsilon }{2},$$$${\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha -L(f;P_1;\alpha )<\frac{\epsilon }{2}.$$

取 $P^{\star }=P_1\cup P_2.$

由定理 1，有

$$U(f;P^{\star };\alpha )-{\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha \le U(f;P_2;\alpha )-{\overline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha <\frac{\epsilon }{2},$$$${\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha -L(f;P^{\star };\alpha )\le {\underline{\int }}_a^{b}f\text{d}\alpha -L(f;P_1;\alpha )<\frac{\epsilon }{2}.$$

故有

$$U(f;P^{\star };\alpha )-L(f;P^{\star };\alpha )<\epsilon .$$

• 推论 4：（1）若 $(10)$ 式对不止一个 $P$ 和 $\epsilon$ 成立，则有 $(10)$ 式对任意 $P$ 的分划细化均成立

        （2）若$(10)$式中$P=\{x_0,x_1,...,x_n\}$，$\forall s_i,t_i\in[x_{i-1},x_i]$，则有
  

  $$\sum _{i=1}^n|f(s_i)-f(t_i)|\Delta {\alpha }_i<\epsilon .$$

  （3）若 $f\in \Re (\alpha )$，且（2）成立，则有

  $$|\sum _{i=1}^{n}f(t_i)\Delta {\alpha }_i-{\int }_a^{b}f\text{d}\alpha |<\epsilon .$$

  证明留给读者完成。