广义积分敛散性分析

结构一：绝对收敛性

结构：如有 $f(x)=\phi (x)(1+o(1)),x\to x_{\star }\in \mathbb{R}\cup \{\pm \mathrm{\infty }\}.$

且有 $\phi (x)>0$（保号），$\mathrm{\forall }{x}_{\star }\in [a,x_{\star }).$

则有 ${\int }_a^{x_{\star }}f(x)\text{d}x$ 与 ${\int }_a^{x_{\star }}\phi (x)\text{d}x$ 同收敛，同发散。

证明：$f(x)>\frac{1}{2}\phi (x),\mathrm{\forall }x\in B_{\delta }(x_{\star })$，可证明同发散。

$f(x)<\frac{3}{2}\phi (x),\mathrm{\forall }x\in B_{\delta }(x_{\star })$，可证明同收敛。

说明：这一结构实质上是说明，我们可以通过分析函数的主部来分析它的广义积分的敛散性，实际上是一种抓住主要矛盾、忽略次要矛盾的思想。当 $x_{\star }$ 有限时，函数主部则可以通过 Taylor 公式获取。

结构二：自身收敛性（条件收敛性）

判别法

Dirichlet 判别法

设有 $f(x)=\eta (x)\phi (x)$，若满足：

①$\eta (x)$ 单调下降，且 $\underset{x\to x_{\star }}{lim}\eta (x)=0$；

②$\mathrm{\forall }a<b<x_{\star },{\int }_a^b\phi (x)\text{d}x$ 存在且有界。

则广义积分 ${\int }_a^{x_{\star }}\phi (x)\eta (x)\text{d}x$ 收敛。

Abel 判别法

设有 $f(x)=\eta (x)\phi (x)$，若满足：

①$\eta (x)$ 单调有界；

②广义积分 ${\int }_a^{x_{\star }}\phi (x)\text{d}x$ 收敛

则有广义积分 ${\int }_a^{x_{\star }}f(x)\text{d}x$ 收敛。

典型事例

例 1

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (\sin x)}{e^{\cos x}}\frac{\ln (1+x)}{x^p}\text{d}x$$

分析

（1）绝对收敛性

$$|\frac{\sin (\sin x)}{e^{\cos x}}\frac{\ln (1+x)}{x^p}|\le |\frac{1}{e^{\cos x}}\frac{\ln (1+x)}{x^p}|\le \frac{x^{\mu }}{x^p{e}^{-1}}=\frac{C}{x^{p-\mu }},\mathrm{\forall }\mu \in {\mathbb{R}}_{+}.$$

因此当 $p>1$ 时绝对收敛。

（2）自身收敛性

因为 ${\int }_0^{2\pi }\frac{\sin (\sin x)}{e^{\cos x}}\text{d}x=0$

所以 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin (\sin x)}{e^{\cos x}}\text{d}x$ 有界。

所以大概率应当采用 Dirichlet 判别法。

故下面分析 $f(x)=\frac{\ln (1+x)}{x^p}$ 的单调性及极限。

$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{x}{1+x}-p\ln (x+1)}{x^{p+1}}$$

故当 $p>0$ 时，有当 $x>>1$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调下降。

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x+1}}{p{x}^{p-1}}=0.$$

故由 Dirichlet 判别法可知，原积分条件收敛。

（3）绝对发散性

$$|\frac{\sin (\sin x)}{e^{\cos x}}\frac{\ln (1+x)}{x^p}|\ge \frac{\ln (1+x)}{e{x}^p}\frac{2}{\pi }|\sin x|\ge C\frac{{\sin }^{2}x}{x^p}=\frac{C}{x^p}\frac{1-\cos 2x}{2}$$

故有当 $0<p\le 1$ 时，绝对发散。

（4）发散性

当 $p<0$ 时，易证其发散。

例 2

设 $p\in \mathbb{R}$，讨论反常积分

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\sin (x^p)\text{d}x.$$

的敛散性。

分析

（1）$x_{\star }=0.$

当 $p\ge 0$ 时，$x^p$ 是小量，且保号，可分离出主部。

​ $\sin (x^p)=x^p(1+o(1)).$

​ 由 $x^p$ 在 $x\to 0$ 时广义积分收敛，知 ${\int }_0^1\sin (x^p)\text{d}x$ 绝对收敛。

当 $p<0$ 时，$x^p$ 是大量，令 $y=x^p$，有

$${\int }_0^1\sin (x^p)\text{d}x=-{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{y^{p^{-1}-1}}{p}\sin y\text{d}y=C{\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\frac{\sin y}{y^{1-p^{-1}}}\text{d}y.$$

​ 现有 $1-p^{-1}>1$，故 ${\int }_0^1\sin (x^p)\text{d}x$ 绝对收敛

（2）$x_{\star }=+\mathrm{\infty }$

当 $p<0$ 时，$x^p$ 在无穷大处是小量，且保号，可分理出主部，操作过程如（1）所示，绝对收敛。

当 $p=0$ 时，发散。

当 $p>0$ 时，令 $y=x^p$，有

$${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}\sin (x^p)\text{d}x=-{\int }_0^1\frac{y^{p^{-1}-1}}{p}\sin y\text{d}y=C{\int }_0^1\frac{\sin y}{y^{1-p^{-1}}}\text{d}y.$$

​ 当 $0<p<1$ 时，$1-p^{-1}<0$，发散。

​ 当 $p\ge 1$ 时，条件收敛。

综上，

​ 当 $p\in (-\mathrm{\infty },0)$ 时，绝对收敛；

​ 当 $p\in [0,1)$ 时，发散；

​ 当 $p\in [1,+\mathrm{\infty })$ 时，条件收敛。

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