积分的全局行为（一）

中值定理

积分第一中值定理

设有 $f(x),g(x)\in \mathrm{\Re }[a,b],g(x)\ge 0$（保号即可），则有

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=\eta {\int }_a^{b}g(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\eta \in [\underset{[a,b]}{inf}f(x),\underset{[a,b]}{sup}f(x)].$$

特别地，当 $f(x)\in C[a,b]$ 时，有

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\xi \in [a,b].$$

证明

$g(x)$ 恒等于 0 时，结论显然成立。下面证明 $g(x)$ 不恒为 0 的情况。

$$[\underset{[a,b]}{inf}f(x)]g(x)\le f(x)g(x)\le [\underset{[a,b]}{sup}f(x)]g(x).$$

根据积分的保号性，有

$$\underset{[a,b]}{inf}f(x){\int }_a^{b}g(x)\text{d}x\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x\le \underset{[a,b]}{sup}f(x){\int }_a^{b}g(x)\text{d}x.$$

由 $g(x)$ 不恒为 0，有 ${\int }_a^{b}g(x)>0.$

因此有

$$\underset{[a,b]}{inf}f(x)\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x}{{\int }_a^{b}g(x)\text{d}x}\le \underset{[a,b]}{sup}f(x).$$

故 $\mathrm{\exists }\eta \in [\underset{[a,b]}{inf}f(x),\underset{[a,b]}{sup}f(x)],s.t.$

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=\eta {\int }_a^{b}g(x)\text{d}x.$$

当 $f(x)\in C[a,b]$ 时，根据介值性，有

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\xi \in [a,b].$$

原积分中 $f(x)g(x)$ 的信息混在一起，不利于进一步操作；而积分第一中值定理实现了将 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的信息分离开来，这是一种信息分离的思想。这一思想在处理乘积型的结构时是很常见的。

信息分离的常见手法

分割区间上的信息分离

结构：${\int }_a^{b}f(x)\phi (x)\text{d}x=\sum _{k=1}^N{\int }_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\phi (x)\text{d}x=S_N.$

上式对任意的分割 $P$ 都成立。

看见乘积，我们自然地想要将其信息分离。

考虑

$$\widetilde{S_N}=\sum _{k=1}^N\phi ({\xi }_k){\int }_a^{b}f(x)\text{d}x,\mathrm{\forall }{\xi }_k\in [x_{k-1},x_k].$$

估计

$$\begin{array}{rl}|S_N-\widetilde{S_N}|& =\sum _{k=1}^N[{\int }_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\phi (x)\text{d}x-{\int }_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\phi ({\xi }_k)\text{d}x]\\ & =\sum _{k=1}^N[{\int }_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)(\phi (x)-\phi ({\xi }_k))\text{d}x]\\ & \le \underset{[a,b]}{sup}f(x)\sum _{k=1}^N{\int }_{x_{k-1}}^{x_k}(\phi (x)-\phi ({\xi }_k))\text{d}x\\ & \le \underset{[a,b]}{sup}f(x)\sum _{k=1}^N\omega (\phi ;[x_{k-1},x_k]){\int }_{x_{k-1}}^{x_k}\text{d}x\\ & =\underset{[a,b]}{sup}f(x)\sum _{k=1}^N\omega (\phi ;[x_{k-1},x_k])\mathrm{\Delta }{x}_k\\ & =\underset{[a,b]}{sup}f(x)\mathrm{\Omega }(\phi ;P)\to 0,as|P|\to 0.\end{array}$$

于是有

$${\int }_a^{b}f(x)\phi (x)\text{d}x=\underset{|P|\to 0}{lim}\sum _{k=1}^N\phi ({\xi }_k){\int }_a^{b}f(x)\text{d}x.$$

Abel 变换、Abel 估计

Abel 变换

结构 $\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=\sum _{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})B_i+a_n{B}_n.$ 其中 $B_n=\sum _{i=1}^n{b}_i.$

证明

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i& =\sum _{i=1}^n{a}_i(B_i-B_{i-1})\\ & =\sum _{i=1}^n{a}_i{B}_i-\sum _{i=2}^n{a}_i{B}_{i-1}\\ & =\sum _{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})B_i+a_n{B}_n.\end{array}$$

Abel 估计

结构 设有

$$\{\begin{array}{l}m\le B_i\le M,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}\\ a_i>a_{i+1},\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}\end{array}$$

则有

$$m{a}_1\le \sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k<M{a}_1.$$

证明

$$\{\begin{array}{l}\sum _{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k+a_n{B}_n\ge m[\sum _{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})+a_n]=m{a}_1,\\ \sum _{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})B_k+a_n{B}_n\le M[\sum _{k=1}^{n-1}(a_k-a_{k+1})+a_n]=M{a}_1.\end{array}$$

积分第二中值定理

基本形式

结构 设有 $\{\begin{array}{l}g(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{减}\mathrm{且}\mathrm{非}\mathrm{负}\\ f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]\end{array}$

则

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$$

证明

看见两个函数的乘积，最基本的想法是进行信息分离。

考虑将区间分割，然后信息分离。根据前面的结果，我们可以得到

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=\underset{|P|\to 0}{lim}\sum _{k=1}^{N}g(x_{k-1}){\int }_{x_{k-1}}^{x_k}f(x)\text{d}x.$$

根据 Newton-Leibniz 公式，设 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)$，则有

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=\underset{|P|\to 0}{lim}\sum _{k=1}^{N}g(x_{k-1})(F(x_k)-F(x_{k-1})).$$

等号右边的形式是符合 Abel 变换的形式的，因此根据 Abel 估计，我们有

$$\underset{|P|\to 0}{lim}g(a)\underset{[a,b]}{inf}F(x)\le {\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x\le \underset{|P|\to 0}{lim}g(a)\underset{[a,b]}{sup}F(x).$$

即

$$\underset{[a,b]}{inf}F(x)\le \frac{{\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x}{g(a)}\le \underset{[a,b]}{sup}F(x).$$

由 $F(x)\in C[a,b]$，根据介值性有

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=g(a)F(\xi )=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\xi \in [a,b].$$

导出形式

结构 设有 $\{\begin{array}{l}g(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{递}\mathrm{增}\mathrm{且}\mathrm{非}\mathrm{负}\\ f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]\end{array}$

则

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$$

证明留给读者完成。可利用基本形式的结论，或者参考基本形式的做法。

一般形式

结构 设有 $\{\begin{array}{l}g(x)\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{且}\mathrm{非}\mathrm{负}\\ f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]\end{array}$

则

$${\int }_a^{b}f(x)g(x)\text{d}x=g(a){\int }_a^{\xi }f(x)\text{d}x+g(b){\int }_{\xi }^{b}f(x)\text{d}x,\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$$

证明留给读者完成。

积分第二中值定理实现了将 $f$ 和 $g$ 信息分离，有利于估计积分结果。