分析理论

曲边图形面积的计算

为了计算曲边图形的面积，我们可以进行以下几个操作。

分割：根据实际情形对图形进行分割。

设有函数 $f(x),x\in [a,b]$，欲计算其与 $x$ 轴围成的面积。

可将 $[a,b]$ 分割为

$$x_0=a,x_1,x_2,...,x_{k-1},x_k,...,x_n=b$$

记这种分割为 $P$，定义 $P$ 的模

$$|P|\triangleq \underset{1\le i\le N}{max}\mathrm{\Delta }{x}_i=\underset{1\le i\le N}{max}(x_{k-1}-x_k)$$

选取：选取适于计算的面积元。

在本例中，我们以长方形的面积替代每一个小曲边梯形的面积，即选取以 $(x_k-x_{k-1})$ 为底，以 $f({\xi }_i)(\mathrm{\forall }{\xi }_i\in [x_{k-1},x_k])$ 为高的矩形作为第 $i$ 块面积的近似。

$$S_i=f({\xi }_i)(x_k-x_{k-1})$$

求和：将各块图形面积求和，作为曲边梯形面积的近似。

$$\sigma (f(x),P,\xi )=\sum _{i=1}^N{S}_i=\sum _{i=1}^{N}f({\xi }_i)(x_k-x_{k-1})$$

上式记为部分和。

求极限；我们希望部分和具有如下行为

$$\mathrm{\exists }S,\mathrm{\forall }\epsilon \in {\mathbb{R}}^{+},\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }\in {\mathbb{R}}^{+},\text{ s.t. }|\sigma (f(x),P,\xi )-S|<\epsilon ,\mathrm{\forall }|P|<{\delta }_{\epsilon }$$

上述行为不依赖于 $P$ 的选取，即对于任意的分割均成立上述行为。

Riemann 积分的定义

• 集聚刻画（Cauchy 叙述）

  $$\mathrm{\exists }S,\mathrm{\forall }\epsilon \in {\mathbb{R}}^{+},\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }\in {\mathbb{R}}^{+},\text{ s.t. }|\sigma (f(x),P,\xi )-S|<\epsilon ,\mathrm{\forall }|P|<{\delta }_{\epsilon }$$

• 序列刻画（Heine 叙述）

  $$\mathrm{\exists }S,\mathrm{\forall }\{P_n\},|P_n|\to 0,\text{ s.t. }\sigma (f(x),P_n,{\xi }_n)\to 0,\text{as }n\to +\mathrm{\infty }$$

• 振幅刻画（Cauchy 收敛原理）

  $$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{\delta }_{\epsilon }>0,\text{ s.t. }|\sigma (f(x),\widetilde{P_n},\widetilde{{\xi }_n})-\sigma (f(x),\widehat{P_n},\widehat{{\xi }_n})|\to 0,\mathrm{\forall }|{\tilde{P}}_n|,|\widehat{P_n}|\to 0$$

可以证明，以上三个定义彼此等价。

如满足其中一个条件，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 Riemann 可积，记作 $f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$。

Darboux 和分析

$f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$，指

$$\mathrm{\exists }\underset{|P|o0}{lim}\sum _{k=1}^{N}f({\xi }_k)\mathrm{\Delta }{x}_k={\int }_a^{b}f(x)dx,$$

等号左边称为 Darboux 和。

振幅和判别法

$f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$ 等价于

$$\mathrm{\exists }\underset{|P|o0}{lim}\omega (f;[x_{k-1},x_k])\mathrm{\Delta }{x}_k=0$$

其中 $\omega (f;[x_{k-1},x_k])\mathrm{\Delta }{x}_k$ 可记作 $\mathrm{\Omega }(f;P)$。

Riemann 判别法

在振幅和判别法中，我们可以对 $\mathrm{\Omega }(f;P)$ 进行分部分估计：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Omega }(f;P)& =\sum _{\omega (f;[x_{k-1},x_k])\le \lambda }\omega (f;[x_{k-1},x_k])\mathrm{\Delta }{x}_k+\\ & \sum _{\omega (f;[x_{k-1},x_k])>\lambda }\omega (f;[x_{k-1},x_k])\mathrm{\Delta }{x}_k\\ & =RH{S}^1+RH{S}^2\end{array}$$

对于 $RH{S}^1$，可控制 $\lambda \to 0$，将整体放大到 $\lambda (b-a)$。

对于 $RH{S}^2$，可控制 $\sum _{\omega (f;[x_{k-1},x_k])>\lambda }\mathrm{\Delta }{x}_k\to 0$，然后将整体放大到 $\omega (f;[a,b])\epsilon$。

这样，整体 $\mathrm{\Omega }(f;P)$ 就被控制到小量。

我们把对 $RH{S}^2$ 的操作方法称为 Riemann 判别法，即

$$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }\lambda ,\epsilon \in {\mathbb{R}}^{+},\mathrm{\exists }{\delta }_{\lambda ,\epsilon }\in {\mathbb{R}}^{+},\\ \text{ s.t. }\sum _{\omega (f;[x_{k-1},x_k])>\lambda }\mathrm{\Delta }{x}_k<\epsilon .\end{array}$$

应用

(1) 可积函数类

① $f(x)\in C[a,b]$ 可积。

证明：由 Cantor 定理，$f(x)\in C[a,b]$ 可推出 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。

利用振幅和判别法可知 $f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$.

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② 绝对可积性

$f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$ 可推出 $|f(x)|\in \mathrm{\Re }[a,b]$。

证明：利用三角不等式，$\omega (|f|;[x_{k-1},x_k])\le \omega (f;[x_{k-1},x_k])$

由振幅和判别法可知 $|f(x)|\in \mathrm{\Re }[a,b]$。

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③ 四则运算

设有 $f(x),g(x)\in \mathrm{\Re }[a,b],$ 则

1. $(\lambda f+\mu g)(x)\in \mathrm{\Re }[a,b].$（此结论易证）

2. $(f·g)(x)\in \mathrm{\Re }[a,b].$（易证）

3. $\left({\displaystyle \frac{f}{g}}\right)(x)\in \mathrm{\Re }[a,b].$

   证明：考虑对 ${\displaystyle \frac{1}{g(\tilde{x})}}-{\displaystyle \frac{1}{g(\hat{x})}}$ 进行估计：

   $$\frac{1}{g(\tilde{x})}-\frac{1}{g(\hat{x})}=\frac{g(\hat{x})-g(\tilde{x})}{g(\hat{x})g(\tilde{x})}\le \frac{\omega (g;[x_{k-1},x_k])}{{\delta }^2}$$

   上式成立需满足 $|g(x)|\ge \delta \in {\mathbb{R}}^{+}.$

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④ 正负部：$f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$ 等价于 $f^{\pm }(x)\in \mathrm{\Re }[a,b].$

结构：

$$\{\begin{array}{rl}{f}^{+}(x)& \triangleq max\{f(x),0\},\\ f^{-}(x)& \triangleq max\{-f(x),0\}.\end{array}$$

证明：

$$\begin{array}{c}f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x)\\ |f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)\end{array}$$

故有

$$f^{+}(x)=f(x)+|f(x)|,f^{-}(x)=|f(x)|-f(x)$$

由 ③ 中结论知正负部均可积。

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⑤ 两可积函数的最值可积。

设有 $f(x),g(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$，则有 $max\{f,g\},min\{f,g\}$ 均可积。

证明：

$$\begin{array}{c}max\{f,g\}=\frac{f+g}{2}(x)+|\frac{f-g}{2}(x)|\\ min\{f,g\}=\frac{f+g}{2}(x)-|\frac{f-g}{2}(x)|\end{array}$$

由 ③ 中结论知最值函数均可积。

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⑥ 复合运算：$[a,b]\ni x\mapsto \theta (x)\mapsto \mathrm{\Theta }\circ \theta (x)$

设有

$$\theta (x)\in \mathrm{\Re }[a,b],\mathrm{\Theta }(x)\in C[A,B]\supset \theta ([a,b])$$

则有 $\mathrm{\Theta }\circ \theta (x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$.

分析：基于 Riemann 判别法。

设有分割 P，使得

$$a=x_0,x_1,x_2,...,x_{k-1},x_k,...,x_n=b.$$

$\mathrm{\Theta }(y)$ 一致连续，则

$$\begin{array}{c}\mathrm{\forall }\epsilon \in {\mathbb{R}}^{+},\mathrm{\exists }\delta \epsilon \in {\mathbb{R}}^{+},\mathrm{\forall }\tilde{y},\hat{y}\in [A,B],|\tilde{y}-\hat{y}|<{\delta }_{\epsilon },\\ |\mathrm{\Theta }(\tilde{y})-\mathrm{\Theta }(\hat{y})|<\epsilon .\end{array}$$

• Case 1：$$\omega (\theta ;[x_{k-1},x_k])\le {\delta }_{\epsilon }$$则有$$\omega (\mathrm{\Theta }\circ \theta ;[x_{k-1},x_k])\le \epsilon$$
• Case 2：$$\omega (\theta ;[x_{k-1},x_k])>{\delta }_{\epsilon }$$则根据 $f(x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$，有$$\sum _{\omega (\theta ;[x_{k-1},x_k])>{\delta }_{\epsilon }}\mathrm{\Delta }{x}_k\to 0.$$进而有$$\sum _{\omega (\mathrm{\Theta }\circ \theta ;[x_{k-1},x_k])>\epsilon }\mathrm{\Delta }{x}_k<\sum _{\omega (\mathrm{\Theta }\circ \theta ;[x_{j-1},x_j])}\mathrm{\Delta }{x}_j\to 0.$$所以根据 Riemann 判别法有 $\mathrm{\Theta }\circ \theta (x)\in \mathrm{\Re }[a,b]$。