量纲分析

设有函数 $y=f(\mathbf{x}):{\mathbb{R}}^m\supset {\mathfrak{D}}_x\ni \{x^1,...,x^m\}:=\mathbf{x}\mapsto y=f(\mathbf{x})\in \mathbb{R}$.

这里的 $\mathbf{x}$ 可以是物理量，也可以是几何量。

我们不妨给出一个实际情形，来引出我们所要叙述的内容 —— 量纲分析。

假设有一个圆柱，其半径为 $D$. 现迎面吹来一阵风，风速为 $v$. 当风吹过圆柱时，会受到阻力。

阻力 $F$ 与四个量有关：$\{v,D,\rho ,\mu \}$，其中 $\rho$ 指的是空气的密度，$\mu$ 指的是黏性系数。

现在我们就有一个映射 $F:\{v,D,\rho ,\mu \}\mapsto F(\{v,D,\rho ,\mu \})$。

对于这个力学系统，我们有一个量纲系统：$L$ （长度），$T$ （时间），$M$（质量）。

对上面的自变量进行量纲分析：

$$\begin{array}{rl}& [v]=L^1{T}^{-1}\\ & [D]=L^1\\ & [\rho ]=L^{-3}{M}^1\\ & [\mu ]=L^{-1}{T}^{-1}M\end{array}$$

众所周知，不同国家的度量衡有不同。我们在计算长度时往往使用公制单位，而像美国等国常常使用英制单位。度量衡的不同会导致公式发生变化。接下来我们就要研究这种变化。

为了研究这一问题，我们先将问题简化为一元函数。

一元函数情形

不妨设我们原有公制公式 $y=f(\mathbf{x})$，现如欲将此公式变为英制公式，需修正为

$$\phi (\alpha )f(x)=f(\alpha x)(1).$$

现在我们需要探究 $\phi$ 的形式。

在英制公式 $(1)$ 中，我们先对 $\alpha$ 求导，有

$${\phi }^{\prime }(\alpha )f(x)=f^{\prime }(\alpha x)x.$$

再对 $\mathbf{x}$ 求导，有

$$\phi (\alpha )f^{\prime }(x)=\alpha f^{\prime }(\alpha x).$$

两式相除，则有

$$\frac{{\phi }^{\prime }(\alpha )}{\phi (\alpha )}\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=\frac{x}{\alpha }.$$

即

$$\frac{\alpha {\phi }^{\prime }(\alpha )}{\phi (\alpha )}=\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}.$$

对于上面的式子，两边应该都是常量，不妨记为 $\lambda$.

$${\phi }^{\prime }(\alpha )=\frac{\lambda }{\alpha }\phi (\alpha ).$$

上式可用常数变易法进行求解。

$$\phi (\alpha )=C{e}^{\int \frac{\lambda }{\alpha }\text{d}\alpha }=C{\alpha }^{\lambda }.$$

根据 $\phi (1)=1$，得

$$\phi (\alpha )={\alpha }^{\lambda }={\alpha }^{\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}x}.$$

因此原公式变为

$$f(\alpha x)={\alpha }^{\lambda }f(x)={\alpha }^{\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}x}f(x).$$

三元函数情形

设公制公式为 $y=f(x^1,x^2,x^3)$，设对 $x^i$ 的转化系数为 ${\alpha }_i$. 原公式需修正为

$$\phi ({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)f(x^1,x^2,x^3)=f({\alpha }_1{x}^1,{\alpha }_2{x}^2,{\alpha }_3{x}^3).$$

分别对 ${\alpha }_1,x^1$ 求偏导数，有

$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_1:\frac{\partial \phi }{\partial {\alpha }_1}f(\mathbf{x})=f_1{x}^1\\ & {\alpha }_2:\phi (\mathbf{\alpha })\frac{\partial f}{\partial x^1}=f_1{\alpha }_1\end{array}$$

有

$$\frac{\frac{\partial \phi }{\partial {\alpha }_1}(\mathbf{\alpha })}{\phi (\mathbf{\alpha })}{\alpha }_1=\frac{\frac{\partial f}{\partial x^1}(\mathbf{x})}{f(\mathbf{x})}{x}^1={\lambda }_1.$$

利用常数变易法，有

$$\phi (\alpha )=C_1({\alpha }_2,{\alpha }_3){\alpha }_1^{{\lambda }_1}.$$

仿照上面的方法，最终得到

$$\phi (\mathbf{\alpha })={\alpha }_1^{{\lambda }_1}{\alpha }_2^{{\lambda }_2}{\alpha }_3^{{\lambda }_3}.$$

其中

$${\lambda }_i=\frac{\frac{\partial f}{\partial x^i}(\mathbf{x})}{f(\mathbf{x})}{x}^i.$$

因此公式为

$$f(\mathbf{\alpha }\mathbf{x})={\alpha }_1^{{\lambda }_1}{\alpha }_2^{{\lambda }_2}{\alpha }_3^{{\lambda }_3}f(\mathbf{x}).$$

无量纲关系

量纲矩阵

回到最初的那个问题。我们把所有变量及其量纲都表示出来：

	$v$	$D$	$\rho$	$\mu$	$F$
$L$	$1$	$1$	$-3$	$-1$	$1$
$T$	$-1$	$0$	$0$	$-1$	$-2$
$M$	$0$	$0$	$1$	$1$	$1$

我们把上面的表格抽象为矩阵，则有

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}1& 1& -3& -1& 1\\ -1& 0& 0& -1& -2\\ 0& 0& 1& 1& 1\end{array}\right]$$

易见 $\text{rank}(\mathbf{A})=3$.

选取前三列为基，则后两列可以由前三列线性表示。

即

$$\begin{array}{rl}& [\mu ]=L^{-1}{T}^{-1}M=[v{]}^{{\alpha }_1}[D{]}^{{\alpha }_2}[\rho {]}^{{\alpha }_3}\\ & [F]=L^1{T}^{-2}{M}^1=[v{]}^{{\beta }_1}[D{]}^{{\beta }_2}[\rho {]}^{{\beta }_3}\end{array}$$

假如 $[v,D,\rho ]$ 的量纲转换系数分别为 $[C_1,C_2,C_3]$，那么 $[\mu ,F]$ 的量纲转换系数分别为

$$\{\begin{array}{l}{C}_4=C_1^{{\alpha }_1}{C}_2^{{\alpha }_2}{C}_3^{{\alpha }_3}\\ C_5=C_1^{{\beta }_1}{C}_2^{{\beta }_2}{C}_3^{{\beta }_3}\end{array}$$

因此有

$$f(C_{1}v,C_{2}D,C_3\rho ,C_4\mu )=f(C_{1}v,C_{2}D,C_3\rho ,C_1^{{\alpha }_1}{C}_2^{{\alpha }_2}{C}_3^{{\alpha }_3}\mu )=C_1^{{\beta }_1}{C}_2^{{\beta }_2}{C}_3^{{\beta }_3}F.$$

作 “无量纲处理”，有

$$f(1,1,1,\frac{\mu }{v^{C_1}{D}^{C_2}{\rho }^{C_3}})=\frac{F}{v^{{\beta }_1}{D}^{{\beta }_2}{\mu }^{{\beta }_3}}.$$

即

$$f(\frac{\mu }{v^{C_1}{D}^{C_2}{\rho }^{C_3}})=\frac{F}{v^{{\beta }_1}{D}^{{\beta }_2}{\mu }^{{\beta }_3}}.$$

这个结论可以自然地推广到高维情形。这就是所谓的 “Π 定理”。

Π 定理

定理 设有 $m$ 个物理量成为函数 $f(\mathbf{x})=0$. 其中涉及到的量纲有 $k$ 个，则

• 存在 $k$ 个量，它们的量纲列向量线性无关，其余 $(m-k)$ 个变量可由这 $m$ 个量组合得到。
• 可获得无量纲关系式，即 $f({\Pi }_1,{\Pi }_2,...,{\Pi }_{m-k})=0$.