推导多元偏导数可交换次序的充分性条件

目标：$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$.

我们对这个问题作一个近似解释。

首先，我们看看二阶偏导数是怎么定义的。

$$\begin{array}{rl}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x)\stackrel{△}{=}\lim \frac{\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+{\lambda }_j{e}_j)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0)}{{\lambda }_j}\\ & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)\stackrel{△}{=}\lim \frac{\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0)}{{\lambda }_i}\end{array}$$

把上式涉及的三个点标在下图中，并作出一个矩形。

我们需要获得三个点的一阶偏导数。事实上，根据上图我们可以观察到：

$$\begin{array}{rl}& f(x_0+{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-f(x_0+{\lambda }_i{e}_i)=\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\lambda }_i{e}_i){\lambda }_j(1+o(1));\\ & f(x_0+{\lambda }_j{e}_j)-f(x_0)=\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0){\lambda }_j(1+o(1)).\end{array}$$

在 $e_j$ 方向上，我们获得了 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x)$ 所需的两个一阶偏导数；同样地，在 $e_i$ 方向上，我们可以获得 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)$ 所需的两个一阶偏导数：

$$\begin{array}{rl}& f(x_0+{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-f(x_0+{\lambda }_j{e}_j)=\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+{\lambda }_j{e}_j){\lambda }_i(1+o(1));\\ & f(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0)=\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0){\lambda }_i(1+o(1)).\end{array}$$

由上面两组式子，我们可以作出

$$\begin{array}{rl}& \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x)=\frac{1}{{\lambda }_j}[f(x_0+{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)+f(x_0)-f(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+{\lambda }_j{e}_j)]\\ & \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)=\frac{1}{{\lambda }_i}[f(x_0+{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)+f(x_0)-f(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+{\lambda }_j{e}_j)]\end{array}$$

我们很容易能够发现：$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x)$ 和 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)$ 必然有着某种联系。

上面的解释是相当粗糙的，下面我们给出更为严谨的探究过程。

处理一

上面的过程启发我们作这样的向量值映照：

$$\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)=f(x_0+{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)+f(x_0)-f(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+{\lambda }_j{e}_j).$$

这是一个双参数向量值映照，我们应尽可能将其单参数化。注意到上面我们其实是沿着 $e_i$（或 $e_j$）方向作出的这个函数，我们其实也可以顺着这个思路，将 $\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)$ 函数单参数化。

构造 $\phi (t)=f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i)$，则 $\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)=\phi (1)-\phi (0)$.

根据 Lagrange 中值定理，有

$$\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)=\dot{\phi }({\alpha }_i),\exists {\alpha }_i\in (0,1)$$

计算

$$\begin{array}{rl}\dot{\phi }(t)& =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j+\Delta t{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-[f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+\Delta t{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i)]}{\Delta t}\\ & =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j+\Delta t{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)}{\Delta t{\lambda }_i}{\lambda }_i+\frac{f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+\Delta t{\lambda }_i{e}_i)-f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i)}{\Delta t{\lambda }_i}{\lambda }_i\\ & =[\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+t{\lambda }_i{e}_i)]{\lambda }_i\end{array}$$

根据 Lagrange 中值定理，可继续化简得

$$\begin{array}{rl}\dot{\phi }({\alpha }_i)& =[\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i)]{\lambda }_i\\ & =[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\alpha }_j{\lambda }_j{e}_j)]{\lambda }_i{\lambda }_j,\exists {\alpha }_j\in (0,1).\end{array}$$

即

$$\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\alpha }_j{\lambda }_j{e}_j){\lambda }_i{\lambda }_j.$$

这一步需要补充条件：

$$存在性条件:\exists \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x),\forall x\in B_{\lambda }(x_0).$$

但这个式子和我们的对象 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0)$ 还有一定距离 —— 自变量不同。一个自然的想法是取极限，即

$$\begin{array}{rl}\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_i{\lambda }_j}& =\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\alpha }_j{\lambda }_j{e}_j)\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0).\end{array}$$

但上式不是恒成立的，它需要条件：

$$连续性条件:\exists \underset{\Delta x\to 0\in {\mathbb{R}}^m}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+\Delta x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0).$$

同理，我们可以利用同样的操作（在图中作一条水平线），得到一个完全对称的结论：

$$\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_i{\lambda }_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$$

这同样需要存在性条件和连续性条件。

根据极限的唯一性，可以得到：

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0).$$

所需条件为：

（1）存在性条件

$$\exists \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x),\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x),\forall x\in B_{\lambda }(x_0)$$

（2）连续性条件

$$\exists \underset{\Delta x\to 0\in {\mathbb{R}}^m}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+\Delta x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0),\exists \underset{\Delta x\to 0\in {\mathbb{R}}^m}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0+\Delta x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0).$$

Remark：上面所说的连续性条件，其实只需要在 $e_i,e_j$ 所组成的平面圆上关于圆心连续即可。

处理二

设有 $\exists \frac{\partial f}{\partial x^i}(x),\frac{\partial f}{\partial x^j}(x),\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x)$，且都在 $x_0$ 点连续。

则有：$\exists \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)$ 在圆心 $x_0$ 处连续，且 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0).$

证明

上面定义了 $\phi (t)=f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-f(x_0+t{\lambda }_i{e}_i)$，有

$$\begin{array}{rl}\dot{\phi }({\alpha }_i)& =[\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\lambda }_j{e}_j)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i)]{\lambda }_i\\ & =[\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\alpha }_j{\lambda }_j{e}_j)]{\lambda }_i{\lambda }_j\end{array}$$

同上面一样，可以得到：

$$\begin{array}{rl}\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_i{\lambda }_j}& =\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0+{\alpha }_i{\lambda }_i{e}_i+{\alpha }_j{\lambda }_j{e}_j)\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x_0).\end{array}$$

在这里我们运用了 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^j\partial x^i}(x)$ 的连续性。

但我们不能同上面一样得出以下结论：

$$\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_i{\lambda }_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$$

因为这一结论的证明需要 $\exists \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)$，但这是我们需要证明的！

退一步，下面这个结论还是成立的：

$$\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_j}=\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\lambda }_i{e}_i+{\theta }_j{\lambda }_j{e}_j)-\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\theta }_j{\lambda }_j{e}_j)(1)$$

如何向我们所需要的形式 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x)$ 靠近呢？

注意到题目还有几个条件没有利用：

$$\frac{\partial f}{\partial x^i}(x),\frac{\partial f}{\partial x^j}(x)在x_0处连续$$

利用连续性需要取极限。我们首先得考虑能否对 ${\lambda }_i$ 或 ${\lambda }_j$ 取极限。

由于

$$\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_i{\lambda }_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$$

这告诉我们整体极限存在。整体极限存在等价于累次极限存在，因此不论对 ${\lambda }_i$ 还是 ${\lambda }_j$ 取极限，结果都是存在的！

对于 $(1)$ 式，我们取极限

$$\underset{{\lambda }_j\to 0}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_j}=\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0).$$

这利用了 $\frac{\partial f}{\partial x^j}$ 的连续性。

注意到上式的右边与 $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)$ 的表达式很接近，因此再取极限：

$$\underset{{\lambda }_i\to 0}{\lim }\frac{1}{{\lambda }_i}\underset{{\lambda }_j\to 0}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_j}=\underset{{\lambda }_i\to 0}{\lim }\frac{1}{{\lambda }_i}[\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0)].$$

根据上面的推理，我们知道此极限存在，因此

$$\begin{array}{rl}\exists \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)& =\underset{{\lambda }_i\to 0}{\lim }\frac{1}{{\lambda }_i}[\frac{\partial f}{\partial x^j}(x_0+{\lambda }_i{e}_i)-\frac{\partial f}{\partial x^i}(x_0)]\\ & =\underset{({\lambda }_i,{\lambda }_j)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta ({\lambda }_i,{\lambda }_j)}{{\lambda }_i{\lambda }_j}\\ & =\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^i\partial x^j}(x_0)\end{array}$$

$\square$