因果分解的思想与方法 —— 隐映照定理

因果分解：理解事物之间的关系

当我们研究两个集合时，不仅要看它们各自包含什么，还要看它们之间是如何相互关联的。这种关联关系在数学中被称为 “映射” 或 “映照”。我们可以用一个简单的符号来表示这种关系：

自变量 $\mapsto$ 因变量

这里的 “自变量” 是影响变化的因素，而 “因变量” 则是被影响的结果。

在数学分析中，我们通常研究的是那些有有限自由度的系统。那么，如何描述这些系统中的事物呢？主要有两个步骤：

1. 表征：描述事物的具体内容。
2. 关系：描述事物之间的关联。

举个例子，假设我们要描述一个事物，可以用以下方式：

• 表征：用一组变量来表示事物的状态，比如：$\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^m$

  这里的 $\mathbf{x}$ 是描述事物的变量。

• 关系：用方程来描述这些变量之间的关系，比如：$\mathbf{f}(\mathbf{x})=0\in {\mathbb{R}}^s$

  这里的 $\mathbf{f}$ 是描述变量之间关系的方程。

不过，这种描述方式有一个问题：它没有明确指出哪些变量是 “因”（自变量），哪些是 “果”（因变量）。

隐映照定理就是用来解决这个问题的。它帮助我们进行因果分解，也就是明确区分哪些变量是原因，哪些是结果。

定理 （隐映照定理）设 ${\mathfrak{D}}_x\times {\mathfrak{D}}_y\ni \{\mathbf{\xi },\mathbf{\eta }\}\mapsto \mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })\in {\mathbb{R}}^q$，其中 ${\mathfrak{D}}_x\subset {\mathbb{R}}^p,{\mathfrak{D}}_y\subset {\mathbb{R}}^q,{\mathfrak{D}}_x,{\mathfrak{D}}_y$ 均为开集。

设有 $\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)=0\in {\mathbb{R}}^q$。如有 $\text{D}{\mathbf{f}}_{\mathbf{\eta }}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)$ 非奇异，且 $\mathbf{f}(\mathbf{x},\mathbf{y})\in C^1({\mathfrak{D}}_x\times {\mathfrak{D}}_y,{\mathbb{R}}^q)$ 则：

在 ${\mathbf{\xi }}_0$ 的周围作一个邻域 $B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$，设有 $\mathbf{\xi }\in B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$；

在 ${\mathbf{\eta }}_0$ 的周围作一个邻域 $B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0)$，

则 $\exists !\mathbf{\eta }\in B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0),\text{ s.t. }\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })=0\in {\mathbb{R}}^q.$

这就构造出一个映照：$B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)\ni \mathbf{\xi }\mapsto \mathbf{\eta }(\mathbf{\xi })\in B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0)$. 此映照满足 $\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi })\in C^1(B_{\lambda }({\mathbf{x}}_0),{\mathbb{R}}^q)$

解释：

在上面的定理中，我们将自变量进行了因果分解：$\mathbf{\xi }$ 为因，而 $\mathbf{\eta }$ 为果。

下面我们将以图示化的方式解释上面的定理。

在上图中，我们把坐标系分为两部分：因部分 $\mathbf{\xi }$，果部分 $\mathbf{\eta }$.

我们作一个集合：$\sum =\{(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })|\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })=0\in {\mathbb{R}}^q\}$。

我们已知 $\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)=0\in {\mathbb{R}}^q$，则 $({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\in \sum$. 我们在 ${\mathbf{\xi }}_0$ 的周围作一个球 $B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$，然后我们可以垂直因坐标系作一个圆柱，其在因坐标系上的投影就是球 $B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$，如图所示。同理可以在 ${\mathbf{\eta }}_0$ 的周围作球 $B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0)$ 及其圆柱。这两个圆柱会产生一个交圆柱。我们接下来的研究就产生在这个交圆柱中。

在 $B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$ 取一个点 $\mathbf{\xi }$ ，然后向上作一个垂线（图中红线），与交圆柱会产生一个公共线段（图中实线段）。根据定理，在这个实线段上，有且只有一个点位于 $\sum$ 内，即：

$$\exists !\mathbf{\eta }\in B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0),\text{ s.t. }\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)=0\in {\mathbb{R}}^q.$$

定理的证明

引理 1 压缩映照定理

设有向量值映照 $\mathbf{f}(\mathbf{x}):{\mathbb{R}}^m\supset {\mathfrak{D}}_x\ni \mathbf{x}\mapsto \mathbf{f}(\mathbf{x})\in {\mathbb{R}}^m$，其中 ${\mathfrak{D}}_x$ 是闭集。

$f(\mathbf{x})$ 满足：$\exists \alpha \in [0,1),\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathfrak{D}}_x,\text{ s.t. }d(\mathbf{f}(\mathbf{x}),\mathbf{f}(\mathbf{y}))\le \alpha d(\mathbf{x},\mathbf{y}).$

则有：

$$\exists !{\mathbf{x}}_{\star }\in {\mathfrak{D}}_x,\text{ s.t. }\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{\star })={\mathbf{x}}_{\star }\in {\mathbb{R}}^m.$$

证明

我们之前学习数列极限时，有过这样的经验：给出递推公式的数列，往往会收敛于其不动点。

根据这一点，我们尝试构造如下点列：

取点列 ${\mathbf{x}}_0,{\mathbf{x}}_1,...,{\mathbf{x}}_n$，满足

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_1=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_0)\\ & {\mathbf{x}}_2=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_1)\\ & ...\\ & {\mathbf{x}}_n=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{n-1})\end{array}$$

与题中式子尝试建立联系：

$$d(\mathbf{f}({\mathbf{x}}_n),\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{n-1}))=d({\mathbf{x}}_{n+1},{\mathbf{x}}_n)\le \alpha d({\mathbf{x}}_n,{\mathbf{x}}_{n-1})$$

因此有

$$\begin{array}{rl}d({\mathbf{x}}_{n+p},{\mathbf{x}}_n)& \le d({\mathbf{x}}_{n+p},{\mathbf{x}}_{n+p-1})+...+d({\mathbf{x}}_{n+1},{\mathbf{x}}_n)\\ & \le \sum _{i=0}^{p-1}{\alpha }^{i}d({\mathbf{x}}_{n+1},{\mathbf{x}}_n)\\ & \le {\alpha }^{n}d({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_0)\sum _{i=0}^{p-1}{\alpha }^i\\ & =\frac{{\alpha }^n(1-{\alpha }^p)}{1-\alpha }d({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_0)\\ & \to 0.\end{array}$$

根据 Cauchy 收敛原理，点列 $\{{\mathbf{x}}_n\}$ 收敛。

对递推公式 ${\mathbf{x}}_n=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{n-1})$ 两边取极限，有

$$\exists {\mathbf{x}}_{\star }\in {\mathfrak{D}}_x(闭集的性质),{\mathbf{x}}_{\star }=\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{\star }).$$

下面证明 ${\mathbf{x}}_{\star }$ 是唯一的，即不依赖于初始值 ${\mathbf{x}}_0$ 的选取。

设有点列 $\{{\tilde{\mathbf{x}}}_{\mathbf{n}}\}$ 和 $\{{\hat{\mathbf{x}}}_{\mathbf{n}}\}$，它们分别集聚于 ${\tilde{\mathbf{x}}}_{\star }$ 和 ${\hat{\mathbf{x}}}_{\star }$，其中假设 ${\tilde{\mathbf{x}}}_{\star }\ne {\hat{\mathbf{x}}}_{\star }$ 则有

$$d({\tilde{\mathbf{x}}}_{\star },{\hat{\mathbf{x}}}_{\star })=d(\mathbf{f}({\tilde{\mathbf{x}}}_{\star }),\mathbf{f}({\hat{\mathbf{x}}}_{\star }))\le \alpha d({\tilde{\mathbf{x}}}_{\star },{\hat{\mathbf{x}}}_{\star })<d({\tilde{\mathbf{x}}}_{\star },{\hat{\mathbf{x}}}_{\star }).$$

这与假设 ${\tilde{\mathbf{x}}}_{\star }\ne {\hat{\mathbf{x}}}_{\star }$ 是矛盾的！

因此

$$\exists !{\mathbf{x}}_{\star }\in {\mathfrak{D}}_x,\text{ s.t. }\mathbf{f}({\mathbf{x}}_{\star })={\mathbf{x}}_{\star }\in {\mathbb{R}}^m.$$

$\square$

引理 2 一个有关矩阵范数的不等式

设有向量值映照 $\mathbf{f}(\mathbf{x}):{\mathbb{R}}^m\supset {\mathfrak{D}}_x\ni \mathbf{x}\mapsto \mathbf{f}(\mathbf{x})\in {\mathbb{R}}^n$，现欲估计

$$|\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

对于一个向量值映照，如果我们想要利用我们熟悉的一元函数的结论，需要将其直线单参数化。

但困难之处在于，我们之前处理的大多是 $\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x})$，而不是其模长。那么我们该如何将模长的结果单参数化呢？

不妨考虑模长的平方，这样就省去了开根号这一步。

容易发现：令

$$\phi (t)=[\mathbf{f}(\mathbf{x}+t\Delta \mathbf{x}){]}^{\text{T}}[\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x})]$$

则有

$$|\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}^2=\phi (1)-\phi (0).$$

于是我们就可以利用 Lagrange 中值定理，将上式的结果化为

$$|\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}=\dot{\phi }(\theta ).$$

接下来我们就需要计算

$$\dot{\phi }(\theta )=[\text{D}\mathbf{f}(x+\theta \Delta \mathbf{x})\Delta \mathbf{x}{]}^{\text{T}}[\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x})].$$

根据 Cauchy-Schwarz 不等式，两个向量的内积不超过它们的模长之积，有

$$|\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}^2\le |\text{D}\mathbf{f}(\mathbf{x}+\theta \Delta \mathbf{x})\Delta \mathbf{x}{|}_{{\mathbb{R}}^n}|\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

再根据矩阵范数的三角不等式，有

$$|\mathbf{f}(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}\le |\text{D}\mathbf{f}(\mathbf{x}+\theta \Delta \mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^{n\times n}}|\Delta \mathbf{x}{|}_{{\mathbb{R}}^n}\le \underset{\theta \in [0,1]}{\sup }|\mathbf{D}\mathbf{f}(\mathbf{x}+\theta \Delta \mathbf{x}){|}_{{\mathbb{R}}^{n\times n}}|\Delta \mathbf{x}{|}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

这说明两个向量值映照的因变量在两点之间的距离，可以由它的 Jacobi 阵的范数和自变量的距离来控制。

证明隐映照定理

考虑将此问题转化为不动点的唯一性问题。考虑构造

$${\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta }):B_{\mu }(\mathbf{\eta })\ni \mathbf{\eta }\mapsto {\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })\stackrel{△}{=}\mathbf{\eta }-({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })\in {\mathbb{R}}^q$$

易证：

$${\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })=\mathbf{\eta }\iff \mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })=0\in {\mathbb{R}}^q.$$

现估计

$$\begin{array}{rl}& {\left|{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })-{\mathbf{\eta }}_0\right|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & ={\left|{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })-{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_0)+{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_0)-{\mathbf{\eta }}_0\right|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & \le {\left|{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })-{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_0)\right|}_{{\mathbb{R}}^q}+{\left|{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_0)-{\mathbf{\eta }}_0\right|}_{{\mathbb{R}}^q}\end{array}$$

根据有限增量公式，有估计

$$\left|{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })-{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_0)\right|\le \underset{\theta \in (0,1)}{\sup }{\left|\text{D}{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_0+\theta (\mathbf{\eta }-{\mathbf{\eta }}_0))\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}|\mathbf{\eta }-{\mathbf{\eta }}_0{|}_{{\mathbb{R}}^q}.$$

考虑到

$$\text{D}{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })={\mathbf{I}}_q-({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0){\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta }).$$

估计

$$\begin{array}{rl}& |\text{D}{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta }){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}\\ & ={\left|{\mathbf{I}}_q-({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0){\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}\\ & ={\left|({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)[{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)-{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })]\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}\\ & \le {\left|({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}{\left|{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)-{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}.\end{array}$$

以上我们设定 $\mathbf{\xi }\in B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0),\mathbf{\eta }\in B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0)$.

欲运用压缩映照定理，需满足包含性条件和压缩性条件。要证包含性条件，根据上面的分析，只需证

$$|\text{D}{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta }){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}<1.$$

取 $\mathbf{\xi }\in B_{\tilde{\lambda }}({\mathbf{\xi }}_0),\mathbf{\mu }\in B_{\tilde{\mu }}({\mathbf{\eta }}_0)$，其中 $\tilde{\lambda }<\lambda ,\tilde{\mu }<\mu$，使得

$${\left|{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)-{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}<|{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}.$$

此处运用了 $\mathbf{f}(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta })\in C^1({\mathfrak{D}}_{\mathbf{\xi }}\times {\mathfrak{D}}_{\mathbf{\eta }};{\mathbb{R}}^q)$.

NOTE

在此处粗体的 $\text{D}$ 表示 Jacobi 阵，手写体的 $\mathfrak{D}$ 表示定义域。

则有

$$|\text{D}{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta }){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}<1.$$

包含性条件已然成立。下面证明压缩性条件。

估计

$$\begin{array}{rl}& {\left|{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_2)-{\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_2)\right|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & \le \underset{\theta \in (0,1)}{\sup }{\left|{\text{D}}_{\mathbf{\xi }}({\mathbf{\eta }}_1+\theta ({\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1))\right|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}|{\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1{|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & <|{\mathbf{\eta }}_2-{\mathbf{\eta }}_1|.\end{array}$$

因此压缩性条件成立。

故映照 ${\mathbf{\varphi }}_{\mathbf{\xi }}(\mathbf{\eta })$ 有且只有一个不动点。因此在 ${\mathbf{\xi }}_0$ 的一个邻域 $B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$ 和 ${\mathbf{\eta }}_0$ 的一个邻域 $B_{\mu }({\mathbf{\eta }}_0)$ 内存在从 $\mathbf{\xi }$ 到 $\mathbf{\eta }$ 的一个映照 ${\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }}$，使得

$$\mathbf{f}(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }})=0.$$

下面证明这个映照满足 ${\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }}\in C^1(B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0);{\mathbb{R}}^q)$.

连续性

考虑 $\forall \mathbf{\xi },\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi }\in B_{\lambda }({\mathbf{\xi }}_0)$，估计

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi })-\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi })\\ & =\mathbf{\varphi }(\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi },\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi }))-\mathbf{\varphi }(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }))\\ & ={\text{D}}_{\mathbf{\xi }}\mathbf{\varphi }(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }))\Delta \mathbf{\xi }+{\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{\varphi }(\mathbf{\xi },\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }))[\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi })-\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi })]+o\left(\sqrt{|\Delta \mathbf{\xi }{|}_{{\mathbb{R}}^m}^2+|{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi }}-{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }}{|}_{{\mathbb{R}}^m}^2}\right)\\ & =({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\cdot {\text{D}}_{\mathbf{\xi }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }})\cdot \Delta \mathbf{\xi }+({\mathbf{I}}_q-({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\cdot {\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }}))[\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi })-\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi })]+o(|\Delta \mathbf{\xi }{|}_{{\mathbb{R}}^m}).\end{array}$$

则有

$$({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\cdot {\text{D}}_{\mathbf{\eta }}f(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }})\cdot [{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi }}-{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }}]=({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}f{)}^{-1}({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)\cdot {\text{D}}_{\mathbf{\xi }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }})\cdot \Delta \mathbf{\xi }(1+o(1)).$$

设定 ${\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}$ 在 $({\mathbf{\xi }}_0,{\mathbf{\eta }}_0)$ 的一个邻域内非奇异，则有

$$\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi }+\Delta \mathbf{\xi })-\mathbf{\eta }(\mathbf{\xi })=({\text{D}}_{\mathbf{\eta }}\mathbf{f}{)}^{-1}(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }}){\text{D}}_{\mathbf{\xi }}\mathbf{f}(\mathbf{\xi },{\mathbf{\eta }}_{\mathbf{\xi }})\Delta \mathbf{\xi }+o(\Delta \mathbf{\xi }).$$

这就是可微性。$\square$