因果分解的思想与方法 —— 隐映照定理

因果分解：理解事物之间的关系

当我们研究两个集合时，不仅要看它们各自包含什么，还要看它们之间是如何相互关联的。这种关联关系在数学中被称为 “映射” 或 “映照”。我们可以用一个简单的符号来表示这种关系：

自变量 $\mapsto$ 因变量

这里的 “自变量” 是影响变化的因素，而 “因变量” 则是被影响的结果。

在数学分析中，我们通常研究的是那些有有限自由度的系统。那么，如何描述这些系统中的事物呢？主要有两个步骤：

1. 表征：描述事物的具体内容。
2. 关系：描述事物之间的关联。

举个例子，假设我们要描述一个事物，可以用以下方式：

• 表征：用一组变量来表示事物的状态，比如：$\mathit{x}\in {\mathbb{R}}^m$

  这里的 $\mathit{x}$ 是描述事物的变量。

• 关系：用方程来描述这些变量之间的关系，比如：$\mathit{f}(\mathit{x})=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^s$

  这里的 $\mathit{f}$ 是描述变量之间关系的方程。

不过，这种描述方式有一个问题：它没有明确指出哪些变量是 “因”（自变量），哪些是 “果”（因变量）。

隐映照定理就是用来解决这个问题的。它帮助我们进行因果分解，也就是明确区分哪些变量是原因，哪些是结果。

定理 （隐映照定理）设 ${\mathfrak{D}}_x\times {\mathfrak{D}}_y\ni \{\mathit{\xi },\mathit{\eta }\}\mapsto \mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })\in {\mathbb{R}}^q$，其中 ${\mathfrak{D}}_x\subset {\mathbb{R}}^p,{\mathfrak{D}}_y\subset {\mathbb{R}}^q,{\mathfrak{D}}_x,{\mathfrak{D}}_y$ 均为开集。

设有 $\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^q$。如有 $\mathbf{\text{D}}{\mathit{f}}_{\mathit{\eta }}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)$ 非奇异，且 $\mathit{f}(\mathit{x},\mathit{y})\in C^1({\mathfrak{D}}_x\times {\mathfrak{D}}_y,{\mathbb{R}}^q)$ 则：

在 ${\mathit{\xi }}_0$ 的周围作一个邻域 $B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$，设有 $\mathit{\xi }\in B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$；

在 ${\mathit{\eta }}_0$ 的周围作一个邻域 $B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0)$，

则 $\mathrm{\exists }!\mathit{\eta }\in B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0),\text{ s.t. }\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^q.$

这就构造出一个映照：$B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)\ni \mathit{\xi }\mapsto \mathit{\eta }(\mathit{\xi })\in B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0)$. 此映照满足 $\mathit{\eta }(\mathit{\xi })\in C^1(B_{\lambda }({\mathit{x}}_0),{\mathbb{R}}^q)$

解释：

在上面的定理中，我们将自变量进行了因果分解：$\mathit{\xi }$ 为因，而 $\mathit{\eta }$ 为果。

下面我们将以图示化的方式解释上面的定理。

在上图中，我们把坐标系分为两部分：因部分 $\mathit{\xi }$，果部分 $\mathit{\eta }$.

我们作一个集合：$\sum =\{(\mathit{\xi },\mathit{\eta })|\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^q\}$。

我们已知 $\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^q$，则 $({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)\in \sum$. 我们在 ${\mathit{\xi }}_0$ 的周围作一个球 $B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$，然后我们可以垂直因坐标系作一个圆柱，其在因坐标系上的投影就是球 $B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$，如图所示。同理可以在 ${\mathit{\eta }}_0$ 的周围作球 $B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0)$ 及其圆柱。这两个圆柱会产生一个交圆柱。我们接下来的研究就产生在这个交圆柱中。

在 $B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$ 取一个点 $\mathit{\xi }$ ，然后向上作一个垂线（图中红线），与交圆柱会产生一个公共线段（图中实线段）。根据定理，在这个实线段上，有且只有一个点位于 $\sum$ 内，即：

$$\mathrm{\exists }!\mathit{\eta }\in B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0),\text{ s.t. }\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^q.$$

定理的证明

引理 1 压缩映照定理

设有向量值映照 $\mathit{f}(\mathit{x}):{\mathbb{R}}^m\supset {\mathfrak{D}}_x\ni \mathit{x}\mapsto \mathit{f}(\mathit{x})\in {\mathbb{R}}^m$，其中 ${\mathfrak{D}}_x$ 是闭集。

$f(\mathit{x})$ 满足：$\mathrm{\exists }\alpha \in [0,1),\mathrm{\forall }\mathit{x},\mathit{y}\in {\mathfrak{D}}_x,\text{ s.t. }d(\mathit{f}(\mathit{x}),\mathit{f}(\mathit{y}))\le \alpha d(\mathit{x},\mathit{y}).$

则有：

$$\mathrm{\exists }!{\mathit{x}}_{\star }\in {\mathfrak{D}}_x,\text{ s.t. }\mathit{f}({\mathit{x}}_{\star })={\mathit{x}}_{\star }\in {\mathbb{R}}^m.$$

证明

我们之前学习数列极限时，有过这样的经验：给出递推公式的数列，往往会收敛于其不动点。

根据这一点，我们尝试构造如下点列：

取点列 ${\mathit{x}}_0,{\mathit{x}}_1,...,{\mathit{x}}_n$，满足

$$\begin{array}{rl}& {\mathit{x}}_1=\mathit{f}({\mathit{x}}_0)\\ & {\mathit{x}}_2=\mathit{f}({\mathit{x}}_1)\\ & ...\\ & {\mathit{x}}_n=\mathit{f}({\mathit{x}}_{n-1})\end{array}$$

与题中式子尝试建立联系：

$$d(\mathit{f}({\mathit{x}}_n),\mathit{f}({\mathit{x}}_{n-1}))=d({\mathit{x}}_{n+1},{\mathit{x}}_n)\le \alpha d({\mathit{x}}_n,{\mathit{x}}_{n-1})$$

因此有

$$\begin{array}{rl}d({\mathit{x}}_{n+p},{\mathit{x}}_n)& \le d({\mathit{x}}_{n+p},{\mathit{x}}_{n+p-1})+...+d({\mathit{x}}_{n+1},{\mathit{x}}_n)\\ & \le \sum _{i=0}^{p-1}{\alpha }^{i}d({\mathit{x}}_{n+1},{\mathit{x}}_n)\\ & \le {\alpha }^{n}d({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_0)\sum _{i=0}^{p-1}{\alpha }^i\\ & =\frac{{\alpha }^n(1-{\alpha }^p)}{1-\alpha }d({\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_0)\\ & \to 0.\end{array}$$

根据 Cauchy 收敛原理，点列 $\{{\mathit{x}}_n\}$ 收敛。

对递推公式 ${\mathit{x}}_n=\mathit{f}({\mathit{x}}_{n-1})$ 两边取极限，有

$$\mathrm{\exists }{\mathit{x}}_{\star }\in {\mathfrak{D}}_x(\mathrm{闭}\mathrm{集}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}),{\mathit{x}}_{\star }=\mathit{f}({\mathit{x}}_{\star }).$$

下面证明 ${\mathit{x}}_{\star }$ 是唯一的，即不依赖于初始值 ${\mathit{x}}_0$ 的选取。

设有点列 $\{{\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\mathit{n}}\}$ 和 $\{{\hat{\mathit{x}}}_{\mathit{n}}\}$，它们分别集聚于 ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star }$ 和 ${\hat{\mathit{x}}}_{\star }$，其中假设 ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star }\ne {\hat{\mathit{x}}}_{\star }$ 则有

$$d({\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star },{\hat{\mathit{x}}}_{\star })=d(\mathit{f}({\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star }),\mathit{f}({\hat{\mathit{x}}}_{\star }))\le \alpha d({\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star },{\hat{\mathit{x}}}_{\star })<d({\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star },{\hat{\mathit{x}}}_{\star }).$$

这与假设 ${\stackrel{\mathbf{~}}{\mathit{x}}}_{\star }\ne {\hat{\mathit{x}}}_{\star }$ 是矛盾的！

因此

$$\mathrm{\exists }!{\mathit{x}}_{\star }\in {\mathfrak{D}}_x,\text{ s.t. }\mathit{f}({\mathit{x}}_{\star })={\mathit{x}}_{\star }\in {\mathbb{R}}^m.$$

$◻$

引理 2 一个有关矩阵范数的不等式

设有向量值映照 $\mathit{f}(\mathit{x}):{\mathbb{R}}^m\supset {\mathfrak{D}}_x\ni \mathit{x}\mapsto \mathit{f}(\mathit{x})\in {\mathbb{R}}^n$，现欲估计

$$|\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

对于一个向量值映照，如果我们想要利用我们熟悉的一元函数的结论，需要将其直线单参数化。

但困难之处在于，我们之前处理的大多是 $\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x})$，而不是其模长。那么我们该如何将模长的结果单参数化呢？

不妨考虑模长的平方，这样就省去了开根号这一步。

容易发现：令

$$\phi (t)=[\mathit{f}(\mathit{x}+t\mathrm{\Delta }\mathit{x}){]}^{\text{T}}[\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x})]$$

则有

$$|\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}^2=\phi (1)-\phi (0).$$

于是我们就可以利用 Lagrange 中值定理，将上式的结果化为

$$|\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}=\dot{\phi }(\theta ).$$

接下来我们就需要计算

$$\dot{\phi }(\theta )=[\mathbf{\text{D}}\mathit{f}(x+\theta \mathrm{\Delta }\mathit{x})\mathrm{\Delta }\mathit{x}{]}^{\text{T}}[\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x})].$$

根据 Cauchy-Schwarz 不等式，两个向量的内积不超过它们的模长之积，有

$$|\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}^2\le |\mathbf{\text{D}}\mathit{f}(\mathit{x}+\theta \mathrm{\Delta }\mathit{x})\mathrm{\Delta }\mathit{x}{|}_{{\mathbb{R}}^n}|\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

再根据矩阵范数的三角不等式，有

$$|\mathit{f}(\mathit{x}+\mathrm{\Delta }\mathit{x})-\mathit{f}(\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^n}\le |\mathbf{\text{D}}\mathit{f}(\mathit{x}+\theta \mathrm{\Delta }\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^{n\times n}}|\mathrm{\Delta }\mathit{x}{|}_{{\mathbb{R}}^n}\le \underset{\theta \in [0,1]}{sup}|\mathit{D}\mathit{f}(\mathit{x}+\theta \mathrm{\Delta }\mathit{x}){|}_{{\mathbb{R}}^{n\times n}}|\mathrm{\Delta }\mathit{x}{|}_{{\mathbb{R}}^n}.$$

这说明两个向量值映照的因变量在两点之间的距离，可以由它的 Jacobi 阵的范数和自变量的距离来控制。

证明隐映照定理

考虑将此问题转化为不动点的唯一性问题。考虑构造

$${\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta }):B_{\mu }(\mathit{\eta })\ni \mathit{\eta }\mapsto {\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })\stackrel{\mathrm{△}}{=}\mathit{\eta }-({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })\in {\mathbb{R}}^q$$

易证：

$${\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })=\mathit{\eta }\iff \mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })=\mathbf{0}\in {\mathbb{R}}^q.$$

现估计

$$\begin{array}{rl}& {|{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })-{\mathit{\eta }}_0|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & ={|{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })-{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_0)+{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_0)-{\mathit{\eta }}_0|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & \le {|{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })-{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_0)|}_{{\mathbb{R}}^q}+{|{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_0)-{\mathit{\eta }}_0|}_{{\mathbb{R}}^q}\end{array}$$

根据有限增量公式，有估计

$$|{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })-{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_0)|\le \underset{\theta \in (0,1)}{sup}{|\mathbf{\text{D}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_0+\theta (\mathit{\eta }-{\mathit{\eta }}_0))|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}|\mathit{\eta }-{\mathit{\eta }}_0{|}_{{\mathbb{R}}^q}.$$

考虑到

$$\mathbf{\text{D}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })={\mathit{I}}_q-({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0){\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta }).$$

估计

$$\begin{array}{rl}& |\mathbf{\text{D}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta }){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}\\ & ={|{\mathit{I}}_q-({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0){\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}\\ & ={|({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)[{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)-{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })]|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}\\ & \le {|({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}{|{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)-{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}.\end{array}$$

以上我们设定 $\mathit{\xi }\in B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0),\mathit{\eta }\in B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0)$.

欲运用压缩映照定理，需满足包含性条件和压缩性条件。要证包含性条件，根据上面的分析，只需证

$$|\mathbf{\text{D}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta }){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}<1.$$

取 $\mathit{\xi }\in B_{\tilde{\lambda }}({\mathit{\xi }}_0),\mathit{\mu }\in B_{\tilde{\mu }}({\mathit{\eta }}_0)$，其中 $\tilde{\lambda }<\lambda ,\tilde{\mu }<\mu$，使得

$${|{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)-{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}<|{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}.$$

此处运用了 $\mathit{f}(\mathit{\xi },\mathit{\eta })\in C^1({\mathfrak{D}}_{\mathit{\xi }}\times {\mathfrak{D}}_{\mathit{\eta }};{\mathbb{R}}^q)$.

NOTE

在此处粗体的 $\mathbf{\text{D}}$ 表示 Jacobi 阵，手写体的 $\mathfrak{D}$ 表示定义域。

则有

$$|\mathbf{\text{D}}{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta }){|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}<1.$$

包含性条件已然成立。下面证明压缩性条件。

估计

$$\begin{array}{rl}& {|{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_2)-{\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_2)|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & \le \underset{\theta \in (0,1)}{sup}{|{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\xi }}({\mathit{\eta }}_1+\theta ({\mathit{\eta }}_2-{\mathit{\eta }}_1))|}_{{\mathbb{R}}^{q\times q}}|{\mathit{\eta }}_2-{\mathit{\eta }}_1{|}_{{\mathbb{R}}^q}\\ & <|{\mathit{\eta }}_2-{\mathit{\eta }}_1|.\end{array}$$

因此压缩性条件成立。

故映照 ${\mathit{\varphi }}_{\mathit{\xi }}(\mathit{\eta })$ 有且只有一个不动点。因此在 ${\mathit{\xi }}_0$ 的一个邻域 $B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$ 和 ${\mathit{\eta }}_0$ 的一个邻域 $B_{\mu }({\mathit{\eta }}_0)$ 内存在从 $\mathit{\xi }$ 到 $\mathit{\eta }$ 的一个映照 ${\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }}$，使得

$$\mathit{f}(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }})=0.$$

下面证明这个映照满足 ${\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }}\in C^1(B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0);{\mathbb{R}}^q)$.

连续性

考虑 $\mathrm{\forall }\mathit{\xi },\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }\in B_{\lambda }({\mathit{\xi }}_0)$，估计

$$\begin{array}{rl}& \mathit{\eta }(\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi })-\mathit{\eta }(\mathit{\xi })\\ & =\mathit{\varphi }(\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi },\mathit{\eta }(\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }))-\mathit{\varphi }(\mathit{\xi },\mathit{\eta }(\mathit{\xi }))\\ & ={\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\xi }}\mathit{\varphi }(\mathit{\xi },\mathit{\eta }(\mathit{\xi }))\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }+{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{\varphi }(\mathit{\xi },\mathit{\eta }(\mathit{\xi }))[\mathit{\eta }(\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi })-\mathit{\eta }(\mathit{\xi })]+o\left(\sqrt{|\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }{|}_{{\mathbb{R}}^m}^2+|{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }}-{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }}{|}_{{\mathbb{R}}^m}^2}\right)\\ & =({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)·{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\xi }}\mathit{f}(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }})·\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }+({\mathit{I}}_q-({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)·{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }}))[\mathit{\eta }(\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi })-\mathit{\eta }(\mathit{\xi })]+o(|\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }{|}_{{\mathbb{R}}^m}).\end{array}$$

则有

$$({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)·{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}f(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }})·[{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }}-{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }}]=({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}f{)}^{-1}({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)·{\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\xi }}\mathit{f}(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }})·\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }(1+o(1)).$$

设定 ${\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}$ 在 $({\mathit{\xi }}_0,{\mathit{\eta }}_0)$ 的一个邻域内非奇异，则有

$$\mathit{\eta }(\mathit{\xi }+\mathrm{\Delta }\mathit{\xi })-\mathit{\eta }(\mathit{\xi })=({\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\eta }}\mathit{f}{)}^{-1}(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }}){\mathbf{\text{D}}}_{\mathit{\xi }}\mathit{f}(\mathit{\xi },{\mathit{\eta }}_{\mathit{\xi }})\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }+o(\mathrm{\Delta }\mathit{\xi }).$$

这就是可微性。$◻$