5 地球椭球面上的弧长与面积

椭球面的第一基本形式

在微分几何的曲面论中，曲面的三个基本形式是研究曲面的整体性质及局部几何性质的有力工具，可用来列出曲面的基本方程，在此讨论对大地测量计算及地图投影十分有用的椭球面的第一基本形式。

设椭球面上一点 $P$ 的位置向量为 $\mathbf{r}(B,L)$，其邻近的一点 $P^{\prime }$ 的位置向量为 ${\mathbf{r}}^{\prime }(B+\mathrm{d}B,L+\mathrm{d}L)$。若舍去 $\mathrm{d}B,\mathrm{d}L$ 的二阶以上小量，则有微分关系式：

$$\mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial B}\mathrm{d}B+\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial L}\mathrm{d}L$$

若 $P,P^{\prime }$ 两点无限接近，即 $\mathrm{d}B\to 0,\mathrm{d}L\to 0$，可将 $|\mathrm{d}\mathbf{r}|$ 定义为曲面上两个无限临近点之间的距离 $\mathrm{d}S$，满足

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{S}^2& =|\mathrm{d}\mathbf{r}{|}^2=\mathrm{d}\mathbf{r}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}\\ & =E\mathrm{d}{B}^2+2F\mathrm{d}B\mathrm{d}L+G\mathrm{d}{L}^2\end{array}$$

这里的 $\mathrm{d}{S}^2$ 指的是 $(\mathrm{d}S{)}^2$ 而非 $\mathrm{d}(S^2)$。

此二次全微分式称为曲面的第一基本形式，也称为曲面的线素。其中的 $E,F,G$ 是常数系数，称为曲面的第一基本形式的系数，亦称为一阶基本量。