简介：线性代数应试笔记

学什么

读了这么多书，你应该或多或少听说过「线性」这个词。线性代数研究线性关系。

什么是线性关系？简单来说，如果一个关系满足：

• 可加性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$
• 齐次性：$f(kx)=kf(x)$

那么就说这个关系是线性的。

毫不夸张地说，线性关系是最广泛最普遍存在的关系。即使是非线性的关系，很多时候在局部也表现出线性的特征。

研究线性代数，我们会从向量出发，以向量作为基本研究对象，研究向量如何经过线性变换变成另一个向量，以及用矩阵来描述这样的变换。由此通过研究矩阵的性质，我们可以得到很多关于线性变换的性质，并在最后将这些性质推广到一切线性关系上。

为什么学

从数学专业学生的角度看，它是现代数学和应用数学的基础工具之一，在理论数学中占有重要地位。从物理专业的角度看，大量的物理量是矢量，同时具有大小和方向，向量的概念是描述这些物理量的有力工具。从工科专业学生的角度看，向量几乎可以描述任何有顺序的数量，而矩阵可以描述状态与状态之间的关系，这是求解很多问题的基础。

应该说，线性代数是大一各种公共课中最「有用」的一门了。

怎么学

刚才提到，我们会从向量出发作为研究对象……

你说得对，但是你出生在一个被称作提瓦特大陆的神秘国家，《线性代数》是由同济数学系精心编排的一部「防自学」教科书，在这里被高考选中的学生们将被授予公式寄巧，引导暴算之力。你将扮演一名苦逼大一新生，在痛苦的计算中邂逅各异的公式，和它们一起击败计算题（也可能没击败吧），什么也没找回的同时，也没发掘线性代数的真相。

There is no way a linear algebra course should begin with formulas for the determinant of an $n$ by $n$ matrix. Those formulas have a place, but not first place.

任何一个线性代数课程都不应该以 $n$ 阶行列式的公式开始。肯定要教，但不应该放在开头。

-- Gilbert Strang, Introduction To Linear Algebra, 5^th Edition

那么好了现在翻开你的教科书，看看第一章是什么？对，行列式。好笑吗？

但无论如何排斥，这课还得上。本套笔记的目的就是「应试」，帮助你按照同济版的编排顺序学习线性代数。

什么？你说你不是为了应试，只是想学线性代数？

快跑！不要看这套笔记！去吃点好的！

但是这绝对不是学习线性代数的正确途径。

我认为能看到这里的你应该并不满足于纯粹应付考试。线性代数是一门非常美妙的学科，它的美妙之处在于它的简洁、优美、深刻。在开始学习之前，我强烈推荐你先看看 3Blue1Brown 的线性代数系列视频。这个系列一共有十多集，以非常直观的可视化形式介绍了向量、线性变换、矩阵、行列式、叉乘、特征值与特征矩阵、解线性方程组这些核心概念。

看完这些视频之后，你会对线性代数有一个相对直观的认识。这样在学习教科书的时候，你会更容易理解书中的概念，而不是死记硬背。在学习过程中，你也可以时不时地倒回来看看这些视频，加深对概念的理解。

你可以在 YouToube 上观看原版，也可以在 Bilibili 上观看中文翻译版。

此外，网络上也有很多关于线性代数的学习资源，比如 MIT 的线性代数公开课，各种知名的讲义，等等。这些资源都可以帮助你更好地理解线性代数的概念。不过，如果并不纠结太深的话，本套笔记加上 3Blue1Brown 的视频应该已经足够了。本套笔记也会尽量穿插一些几何直观的解释，帮助你更好地理解线性代数的概念。

此外，应试方面，可以参考 一高数的线性代数合集 和 张云翼的线性代数速成课。

好了，不知道你对未来是充满期待，还是想骂脏话。无论如何，准备开始你的同济版《线性代数》之旅吧。