一步变换解决一项：第一次配方把所有含 x1 的项全部配到 k1(x1+?x2+⋯)2 中去，第二次把所有含 x2 的项配掉…… 如此重复直到只剩 xn2。
最后进行换元：
⎩⎨⎧y1=x1+?x2+?x3+⋯+?xny2=x2+?x3+⋯+?xn⋯yn=xn便可化为标准形：
f=k1y12+k2y22+⋯+knyn2但是有个小问题，这样做我么得到的变换是 y=Cx 的形式，但我们需要的线性变换是 x=Py 的形式。因此要求一次逆，即 x=C−1y。
例 1
通过配方法将该二次型化为标准形，并求所用的变换矩阵。
f=2x12−2x22−4x1x3+8x2x3解：
f=(2x12−4x1x3)−2x22+8x2x3=2(x1−x3)2−2x23+8x2x3−2x33=2(x1−x3)2−2(x2−2x3)2+6x32进行换元
⎩⎨⎧y1=x1−x3y2=x2−2x3y3=x3即
y1y2y3=100010−1−21x1x2x3故有
x1x2x3=100010121y1y2y3且有标准形
f=2y12−2y22+6y32例 1 改
通过配方法化二次型为规范形，并求所用的变换矩阵。
f=2x12−2x22−4x1x3+8x2x3从标准形到规范形，其实只差了一个系数。只要把括号外面的系数移进去即可。
f=2(x1−x3)2−2(x2−2x3)2+6x32=[2(x1−x3)]2−[2(x2−2x3)]2+(6x3)2故有
y1y2y3=200020−2−226x1x2x3后面的流程就是一样的了，这里不再赘述。规范形为
f=y12−y22+6y33例 2
化二次型为规范形，并求所用的变换矩阵。
f=2x1x2+2x1x3−6x2x3由于 f 中不含平方项，但含有 x1,x2 的乘积项，故进行平方差换元，令：
⎩⎨⎧x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3即
x=C1y,C1=1101−10001得到
f=2y12−2y22−4y1y3+8y2y3=2(y1−y3)2−2(y2−2y3)2+6y32有
⎩⎨⎧z1=2(y1−y3)z2=2(y2−2y3)z3=6y3即
z=C2y,C2=2100010−1−23故有
x=C1C2−1z,C1C2−1=211101−103−3131且有规范形：
f=z12−x22+z32