5.8 正定二次型

矩阵合同

合同的概念

设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} AC = B$ ，就说 $A$ 与 $B$ 合同。这一过程称为合同变换。

设对称矩阵 $A$ ，一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{T} A C = Λ$ ，这一过程称为合同对角化。

正负惯性指数

定义矩阵的正特征值的个数称为正惯性指数，一般记作 $p$ ；矩阵的负特征值的个数称为负惯性指数，一般记作 $q$ 。

二次型化为标准形 $f = y^{T} Λy$ 之后，中间的这个 $Λ$ 就是相似对角化之后的结果，是由原矩阵特征值拼成的对角矩阵。因此，化成标准形中的平方项（也就是 $Λ$ 主对角线上的元素）就是平方项的系数。所以，正惯性指数等于标准形中正平方项的个数，负惯性指数等于标准形中负平方项的个数。

规范形作为特殊的标准形，正惯性指数等于规范形中 $+ 1$ 的个数，负惯性指数等于规范形中 $- 1$ 的个数。

所以我们有

正惯性指数 = 正特征值的个数 = 标准形正平方项的个数 = 规范形中 $+ 1$ 的个数
负惯性指数 = 负特征值的个数 = 标准形负平方项的个数 = 规范形中 $- 1$ 的个数

并且，对于对角矩阵 $Λ$ ，其秩 $R (Λ)$ 就等于其中非零元素的个数，那也就是正特征值个数与负特征值个数之和，所以我们有：

二次型矩阵的秩 $R (A)$ 满足

R (A) = p + q

特别地，单位矩阵 $E$ 的正惯性指数等于阶数 $n$ ，因为 $E$ 有 $n$ 个值为 $1$ 的特征向量。

惯性定理

二次型经过多次可逆线性变换，正负惯性指数不变。

正定二次型

正定的概念

由于二次型是齐次的二次多项式，不含常数项，因此当 $x = 0$ 时二次型的值一定为 $0$ 。因此，我们研究 $x \neq = 0$ 的情况。

定义设二次型 $f (x) = x^{T} A x$ ，对任何 $x \neq = 0$ ：

若都有 $f (x) > 0$ ，则称 $f$ 为正定二次型，称 $A$ 是正定矩阵；
若都有 $f (x) < 0$ ，则称 $f$ 为负定二次型，称 $A$ 是负定矩阵。

例 1

判断该二次型是否正定。

f = - 5 x_{1}^{2} + 777777 x_{2}^{2} + 888888 x_{3}^{2} + 99999 x_{2} x_{3}

取 $f (1, 0, 0) = - 5 < 0$ ，不正定。

正定性的判定

正定的充要条件

这里给出判断对称矩阵 $A$ 正定的四个充要条件：

$f = x^{T} A x \geq 0$ ，当且仅当 $x = 0$ 时取零。（其实就是定义）
顺序主子式均大于零
这里介绍顺序主子式的概念。简单来说，就是左上角 $i$ 行 $i$ 列元素组成的行列式。
例如，对于矩阵
$a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}$
就有一系列顺序主子式：
$一阶顺序主子式二阶顺序主子式三阶顺序主子式 n 阶顺序主子式 a_{11} a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} \dots a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}$
若这一系列顺序主子式均大于零，则可判断原矩阵正定。
正惯性指数 $= n$ （或 $λ_{i}$ 均为正）。
很好理解。因为化为标准形之后，平方项前的系数就是 $λ_{i}$ 。如果 $λ_{i}$ 均为正，与平方项相乘相加，结果肯定也为正。
$A$ 与 $E$ 合同。
这一条件和 3 其实是等价的。因为 $E$ 的正惯性指数为 $n$ ，所以若二者合同， $A$ 的正惯性指数也为 $n$ 。
由此拓展， $A$ 与 $E$ 合同，可以写出 $A = C^{T} E C$ ，

例 2

设二次型

f = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 5 x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2} - 2 x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

为正定二次型，求 $a$ 的取值范围。

我们采用第二个，即顺序主子式这一条件。

写出矩阵

A = 1 a - 1 a 12 - 1 25

故有

1 1 a a 1 ∣ A ∣ > 0 > 0 \Rightarrow - 1 < a < - 1 > 0 \Rightarrow - \frac{4}{5} < a < 0

综上，有 $- \frac{4}{5} < a < 0$ 。

负定的充要条件

$f = x^{T} Ax \leq 0$ ，当且仅当 $x = 0$ 时 $f = 0$ ；
顺序主子式奇数阶为负，偶数阶为正；
负惯性指数等于 $n$ （或 $λ_{i} < 0$ ）。

例 3

判断下面二次型的正定性：

f = - 5 x^{2} - 6 y^{2} - 4 z^{2} + 4 x y + 4 x z

解：

A = - 5 22 2 - 6 0 20 - 4 \Rightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a_{11} = - 5 < 0 a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} = - 5 2 2 - 6 = 26 > 0 ∣ A ∣ = - 80 < 0

因此 $A$ 负定。

5.8 正定二次型 ​

矩阵合同 ​

合同的概念 ​

正负惯性指数 ​

惯性定理 ​

正定二次型 ​

正定的概念 ​

正定性的判定 ​

正定的充要条件 ​

负定的充要条件 ​