6.1 线性空间的定义与性质

线性空间的定义

在计算机科学中，向量是一组有顺序的数；在物理中，向量是描述有方向的物理量的有向线段。向量可以是很多东西，我们希望抽象出一种统一的方式来研究。

如果给出一堆东西，可否用向量的方式来研究？我们规定一些标准，如果这些东西能够满足这些标准，我们就可以用向量的方式来研究它们 —— 相当于几何中的公设，不论是篮球、足球还是地球，只要所在的空间满足五条公设，我们都将其抽象为「球」的概念，并用几何公式来描述其性质。

设 $V$ 是一个非空集合，$\mathbb{R}$ 为实数域。

• 如果在 $V$ 中定义了一个加法，即对于任意两个元素 $\mathbf{\alpha },\mathbf{\beta }\in V$，总有惟一的一个元素 $\mathbf{\gamma }\in V$ 与之对应，称为 $\mathbf{\alpha }$ 与 $\mathbf{\beta }$ 的和，记作 $\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }$；
• 在 $V$ 中又定义了一个数与元素的乘法，即对于任一数 $\lambda \in \mathbb{R}$ 与任 一元素 $\mathbf{\alpha }\in V$，总有唯一的一个元素 $\mathbf{\delta }\in V$ 与之对应，称为 $\lambda$ 与 $\mathbf{\alpha }$ 的数量乘积（简称数乘），记作 $\mathbf{\delta }=\lambda \mathbf{\alpha }$，

并且这两种运算满足以下八条运算规律：

$$\begin{array}{cl}1.& \mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+\mathbf{\alpha }\\ 2.& (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })+\mathbf{\gamma }=\mathbf{\alpha }+(\mathbf{\beta }+\mathbf{\gamma })\\ 3.& \exists 0\in V,\forall \mathbf{\alpha }\in V,\mathbf{\alpha }+0=\mathbf{\alpha }\\ 4.& \forall \mathbf{\alpha }\in V,\exists \mathbf{\beta }\in V,\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=0\\ 5.& 1\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }\\ 6.& \lambda (\mu \mathbf{\alpha })=(\lambda \mu )\mathbf{\alpha }\\ 7.& (\lambda +\mu )\mathbf{\alpha }=\lambda \alpha +\mu \alpha \\ 8.& \lambda (\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\lambda \mathbf{\alpha }+\mu \mathbf{\beta }\end{array}$$

那么，$V$ 就称为（实数域 $\mathbb{R}$）上的线性空间（或向量空间），借助几何语言，$V$ 中的元素不论其本来的性质如何，都可以看作向量。

例 1

次数不超过 $n$ 的多项式的全体，记作 $P[x{]}_n$，即

$$P[x{]}_n=\left\{\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i|a_i\in \mathbb{R}\right\}$$

对于多项式加法和数乘构成向量空间。这是因为，多项式的加法和乘法显然满足线性运算规律，下面验证 $P[x{]}_n$ 对这两种运算封闭：

$$\begin{array}{c}\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i+\sum _{i=0}^n{b}_i{x}^i=\sum _{i=0}^n(a_i+b_i)x^i\in P[x{]}_n\\ \lambda \sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=\sum _{i=0}^n\lambda a_i{x}^i\in P[x{]}_n\end{array}$$

故 $P[x{]}_n$ 是一个向量空间。

例 2

$n$ 次多项式的全体

$$Q[x{]}_n=\left\{\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i|a_i\in \mathbb{R}\backslash 0\right\}$$

对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空间。这是因为

$$0\mathbf{p}=0x^n+0x^{n-1}+\cdots +0x+0\notin Q[x{]}_n$$

例 3

正弦函数的集合

$$S[x]=\left\{A\sin (x+B)|A,B\in \mathbb{R}\right\}$$

对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成向量空间。这是因为：通常的函数加法及数乘运算显然满足线性运算规律，故只要验证 $S[x]$ 对运算封闭：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{s}}_1+{\mathbf{s}}_2& =A_1\sin (x+B_1)+A_2\sin (x+B_2)\\ & =(a_1\cos x+b_1\sin x)+(a_2\cos x+b_2\sin x)\\ & =(a_1+a_2)\cos x+(b_1+b_2)\sin x\\ & =A_3\sin (x+B_3)\in S[x]\\ \lambda {\mathbf{s}}_1& =(\lambda A_1)\sin (x+B_1)\in S[x]\end{array}$$

故 $S[x]$ 是一个向量空间。

例 4

在正实数 ${\mathbb{R}}^{+}$ 中定义加法和数乘运算为

$$\begin{array}{c}a\oplus b=ab\\ \lambda \circ a=a^{\lambda }\end{array}$$

验证 ${\mathbb{R}}^{+}$ 对上述加法与数乘运算构成线性空间。

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实际上要验证十条：

• 对加法封闭：对任意的 $a,b\in {\mathbb{R}}^{+}$，有 $a\oplus b=ab\in {\mathbb{R}}^{+}$；
• 对数乘封闭：对任意的 $\lambda \in \mathbb{R},a\in {\mathbb{R}}^{+}$，有 $\lambda \circ a=a^{\lambda }\in {\mathbb{R}}^{+}$。

$$\begin{array}{cl}1.& a\oplus b=ab=ba=b\oplus a\\ 2.& (a\oplus b)\oplus a=(ab)c=a(bc)=a\oplus (b\oplus c)\\ 3.& 存在零元素1,\forall a\in {\mathbb{R}}^{+},a\oplus 1=a\cdot 1=a\\ 4.& \forall a\in {\mathbb{R}}^{+},\exists b=a^{-1}\in {\mathbb{R}}^{+},a\oplus b=a\cdot a^{-1}=1\\ 5.& 1\circ a=a^1=a\\ 6.& \lambda \circ (\mu \circ a)=\lambda \circ a^{\mu }=a^{\lambda \mu }=(\lambda \mu )\circ a\\ 7.& (\lambda +\mu )\circ a=a^{\lambda +\mu }=a^{\lambda }{a}^{\mu }=a^{\lambda }\oplus a^{\mu }=\lambda \circ a\oplus \mu \circ a\\ 8.& \lambda \circ (a\oplus b)=\lambda \circ (ab)=(ab{)}^{\lambda }=a^{\lambda }{b}^{\lambda }=a^{\lambda }\oplus b^{\lambda }=\lambda \circ a\oplus \lambda \circ b\end{array}$$

因此， ${\mathbb{R}}^{+}$ 对于所定义的运算构成线性空间.

线性空间的性质

• 零向量唯一；
• 任意向量的负向量是唯一的，$\mathbf{\alpha }$ 的负向量记作 $-\mathbf{\alpha }$；
• $0\mathbf{\alpha }=0$，$(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha }$，$\lambda 0=0$；
• 如果 $\lambda \mathbf{\alpha }=0$，则 $\lambda =0$ 或 $\mathbf{\alpha }=0$。

子空间

定义 设 $V$ 是一个线性空间，$L$ 是 $V$ 的一个非空子集，如果 $L$ 对于 $V$ 中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称 $L$ 为 $V$ 的子空间。

定理 线性空间 $V$ 的非空子集 $L$ 构成子空间的充分必要条件是：$L$ 对于 $V$ 中的线性运算封闭。