5.3 向量的内积、长度及正交性

向量内积

定义 设有 $n$ 维向量

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right)$$

令

$$(\mathbf{x},\mathbf{y})=x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdots +x_n{y}_n$$

$(\mathbf{x},\mathbf{y})$ 称为向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 的内积。

内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，用矩阵记号表示，当 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 都是列向量时，有

$$(\mathbf{x},\mathbf{y})={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}$$

内积具有下列性质：

• $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(\mathbf{y},\mathbf{x})$；
• $(\lambda \mathbf{x},\mathbf{y})=\lambda (\mathbf{x},\mathbf{y})$；
• $(\mathbf{x}+,\mathbf{z})=(\mathbf{x},\mathbf{z})+(\mathbf{y},\mathbf{z})$；
• 当 $\mathbf{x}=0$ 时，$(\mathbf{x},\mathbf{x})=0$；当 $\mathbf{x}\ne 0$ 时，$(\mathbf{x},\mathbf{x})>0$。

另有施瓦茨不等式：

$$(\mathbf{x},\mathbf{y}{)}^2\le (\mathbf{x},\mathbf{x})(\mathbf{y},\mathbf{y})$$

$n$ 维向量的内积是数量积的一种推广，但 $n$ 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并且反过来，利用内积来定义 $n$ 维向量的长度和夹角。

长度与夹角

长度

令

$$\Vert \mathbf{x}\Vert =\sqrt{(\mathbf{x},\mathbf{x})}=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$$

$\Vert \mathbf{x}\Vert$ 称为 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 的长度（或范数）。

向量的长度有如下性质：

• 非负性：当 $\mathbf{x}\ne 0$ 时，$\Vert \mathbf{x}\Vert >0$，当 $\mathbf{x}=0$ 时，$\Vert \mathbf{x}\Vert =0$；
• 齐次性：$\Vert \lambda \mathbf{x}\Vert =|\lambda |\cdot \Vert \mathbf{x}\Vert$；
• 三角不等式：$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$。

当 $\Vert \mathbf{x}\Vert =1$ 时，称 $\mathbf{x}$ 为单位向量。

若有向量 $\mathbf{a}\ne 0$，取 $\mathbf{e}=\frac{1}{\Vert \mathbf{a}\Vert }\mathbf{a}$，则 $\mathbf{e}$ 是一个单位向量，这一过程称为向量 $\mathbf{a}$ 的单位化。

例 1

将向量 $\mathbf{\alpha }=(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 单位化。

$$\mathbf{e}=\frac{\mathbf{\alpha }}{\Vert \mathbf{\alpha }\Vert }=\frac{1}{\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+1^2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right)$$

夹角

定义 设有 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$，且 $\mathbf{x}\ne 0$，$\mathbf{y}\ne 0$，令

$$\theta =\arccos \frac{(\mathbf{x},\mathbf{y})}{\Vert \mathbf{x}\Vert \cdot \Vert \mathbf{y}\Vert }$$

$\theta$ 称为 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 的夹角。$\theta \in [0,\pi ]$。

正交及其相关概念

正交

定义 设有 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$，若 $(\mathbf{x},\mathbf{y})=0$，称向量 $\mathbf{x}$ 与 $\mathbf{y}$ 正交。

WARNING

零向量与其他向量没有夹角，但零向量与任何向量都正交。

向量正交是几何空间中向量垂直概念的推广。

正交向量组

定义 一组两两正交的非零向量称为正交向量组。

定理 若 $n$ 维向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 是正交向量组，则该向量组线性无关。

证明

设有 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$ 使得

$${\mathbf{a}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +{\lambda }_r{\mathbf{a}}_r=0$$

等式两边同时与 ${\mathbf{a}}_1$ 作内积，因 $i\ne 1$ 时，$({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_i)=0$，故有

$${\lambda }_1({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_1)={\lambda }_1\cdot \Vert {\mathbf{a}}_1^2\Vert =0$$

又有 ${\mathbf{a}}_1\ne 0$，因此 $\Vert {\mathbf{a}}_1^2\Vert \ne 0$，故必有 ${\lambda }_1=0$。同理可证 ${\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_r=0$，因此该向量组线性无关，证毕。

标准正交基

定义 设 $n$ 维向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 是向量空间 $V$（$V\subseteq {\mathbb{R}}^n$）的一个基，若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 两两正交，则称 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 是 $V$ 的一个正交基。

定义 设 $n$ 维向量 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r$ 是向量空间 $V$（$V\subseteq {\mathbb{R}}^n$）的一个基，若 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r$ 两两正交，且都是单位向量，则称 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r$ 是 $V$ 的一个标准正交基（也称单位正交基）。

例如，

$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ 0\end{array}\right){\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ 0\end{array}\right){\mathbf{\xi }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right){\mathbf{\xi }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

就是 ${\mathbb{R}}^4$ 的一个标准正交基。

对于 $V$ 中的任意向量 $\mathbf{a}$，其能由 $V$ 的一个标准正交基 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r$ 线性表示。设表示式为

$$\mathbf{a}={\lambda }_1{\mathbf{\xi }}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +{\lambda }_r{\mathbf{\xi }}_r$$

为求其中的系数 ${\lambda }_i$，用 ${\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}$ 左乘上式，有

$${\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{a}={\lambda }_i{\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{\xi }}_i={\lambda }_i$$

即

$${\lambda }_i=(\mathbf{a},{\mathbf{\xi }}_i)$$

此即向量在标准正交基下的坐标的计算公式。利用这个公式能方便地求得向量的坐标，因此，我们在给向量空间取基时常常取标准正交基。

标准正交化

设 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 是向量空间 $V$ 的一个基，要求 $V$ 的一个标准正交基。相当于要求一个单位向量组成的正交向量组 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r$，使之与向量组 $A$ 等价。

考虑把这件事分成两步：先不要求是单位向量，求一个正交向量组 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_r$，然后再将其单位化为标准正交基。

我们现考虑最简单的情况：二维平面。我们取定第一个向量 ${\mathbf{a}}_1$ 不变，即 ${\mathbf{b}}_1={\mathbf{a}}_1$，接着考虑如何调整 ${\mathbf{a}}_2$。既然要让 ${\mathbf{a}}_2$ 调整后的结果垂直与 ${\mathbf{a}}_1$，我们将其分解成垂直于 ${\mathbf{a}}_1$ 的和平行于 ${\mathbf{a}}_1$ 的两个分量。很明显，我们需要的 ${\mathbf{b}}_2$ 就是垂直于 ${\mathbf{a}}_1$ 的那个分量。垂直的那个分量不太好求，但是平行的那个分量好求。平行的那个分量我们记作 ${\mathbf{a}}_2^{\prime }$，就有

$${\mathbf{b}}_2={\mathbf{a}}_2-{\mathbf{a}}_2^{\prime }$$

${\mathbf{a}}_2^{\prime }$ 其实就是 ${\mathbf{a}}_2$ 在 ${\mathbf{b}}_1$ 上的投影。根据高中的知识，我们有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{a}}_2^{\prime }& =\Vert {\mathbf{a}}_2\Vert \cdot \cos ⟨{\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1⟩\cdot \frac{{\mathbf{b}}_1}{\Vert {\mathbf{b}}_1\Vert }\\ & =\Vert {\mathbf{a}}_2\Vert \cdot \frac{({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1)}{\Vert {\mathbf{a}}_2\Vert \cdot \Vert {\mathbf{b}}_1\Vert }\cdot \frac{{\mathbf{b}}_1}{\Vert {\mathbf{b}}_1\Vert }\\ & =\frac{({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1\end{array}$$

所以有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_1& ={\mathbf{a}}_1\\ {\mathbf{b}}_2& ={\mathbf{a}}_2-\frac{({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1\end{array}$$

将其推广到三维。

既然 ${\mathbf{b}}_3$ 要同时与 ${\mathbf{b}}_1$ 和 ${\mathbf{b}}_2$ 垂直，那就是要垂直于这两个向量组成的平面。所以 ${\mathbf{b}}_3$ 就应该是 ${\mathbf{a}}_3$ 减去其在 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2$ 所在平面的投影 ${\mathbf{a}}_3^{\prime }$。不过求向量对平面的投影比较麻烦，我们注意到，${\mathbf{a}}_3^{\prime }$ 其实就是 ${\mathbf{a}}_3$ 分别对 ${\mathbf{b}}_1$ 和 ${\mathbf{b}}_2$ 投影后再相加。

所以我们有

$${\mathbf{b}}_3={\mathbf{a}}_3-\frac{({\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1-\frac{({\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_2)}{({\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_2)}{\mathbf{b}}_2$$

由此继续推广，我们有：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_1& ={\mathbf{a}}_1\\ {\mathbf{b}}_2& ={\mathbf{a}}_2-\frac{({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1\\ {\mathbf{b}}_3& ={\mathbf{a}}_3-\frac{({\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1-\frac{({\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_2)}{({\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_2)}{\mathbf{b}}_2\\ & \cdots \\ {\mathbf{b}}_r& ={\mathbf{a}}_3-\frac{({\mathbf{a}}_r,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1-\cdots -\frac{({\mathbf{a}}_r,{\mathbf{b}}_{r-1})}{({\mathbf{b}}_{r-1},{\mathbf{b}}_{r-1})}{\mathbf{b}}_{r-1}\end{array}$$

然后将其单位化，即

$${\mathbf{\xi }}_1=\frac{1}{\Vert {\mathbf{b}}_1\Vert },{\mathbf{\xi }}_2=\frac{1}{\Vert {\mathbf{b}}_2\Vert },\cdots ,{\mathbf{\xi }}_r=\frac{1}{\Vert {\mathbf{b}}_r\Vert },$$

写成更简洁的形式，就是

$$\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_i={\mathbf{a}}_i-\sum _{j=1}^{i-1}\frac{({\mathbf{a}}_i,{\mathbf{b}}_j)}{({\mathbf{b}}_j,{\mathbf{b}}_j)}{\mathbf{b}}_j\\ {\mathbf{\xi }}_i=\frac{{\mathbf{b}}_i}{\Vert {\mathbf{b}}_i\Vert }\end{array}$$

上述从线性无关向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 导出正交向量组 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_r$ 的过程称为施密特正交化。它不仅满足 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_r$ 与 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 等价，还满足：对任意的 $k\in [1,r]$，向量组 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_k$ 与 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_k$ 等价。

例 2

设

$${\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{a}}_3=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right),$$

将这组向量正交单位化。

首先正交化：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_1& ={\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\\ {\mathbf{b}}_2& ={\mathbf{a}}_2-\frac{({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 1\end{array}\right)-\frac{4}{6}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)=\frac{5}{3}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\\ {\mathbf{b}}_3& ={\mathbf{a}}_3-\frac{({\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1-\frac{({\mathbf{a}}_3,{\mathbf{b}}_2)}{({\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_2)}{\mathbf{b}}_1=\left(\begin{array}{c}4\\ -1\\ 0\end{array}\right)-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)-\frac{5}{3}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

然后单位化：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{e}}_1& =\frac{{\mathbf{b}}_1}{\Vert {\mathbf{b}}_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)\\ {\mathbf{e}}_2& =\frac{{\mathbf{b}}_2}{\Vert {\mathbf{b}}_2\Vert }=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\\ {\mathbf{e}}_3& =\frac{{\mathbf{b}}_3}{\Vert {\mathbf{b}}_3\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

正交矩阵

定义

若方阵的列向量都是单位向量且两两正交，该方阵称为正交矩阵。

例如，取上面提到过的

$${\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ 0\end{array}\right){\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0\\ 0\end{array}\right){\mathbf{\xi }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right){\mathbf{\xi }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$$

拼起来，有

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Q}& =({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\xi }}_4)\\ & =\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\end{array}$$

这就是一个正交矩阵。

WARNING

正交矩阵不仅要正交，还要求列向量都是单位向量！

性质

设有两两正交的三维单位向量 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3$，有 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)$，我们考虑 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}$。其结果应该是一个三阶方阵：

$${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{c}{\mathbf{\xi }}_1^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\xi }}_2^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{\xi }}_3^{\mathrm{T}}\end{array}\right)({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)=\left(\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}\right)$$

根据矩阵乘法法则，$q_{11}$ 是左取第一行，右取第一列，也就是说

$$q_{11}={\mathbf{\xi }}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{\xi }}_1=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_1)$$

$q_{12}$ 是左取第一行，右取第二列

$$q_{12}={\mathbf{\xi }}_1^{\mathrm{T}}{\mathbf{\xi }}_2=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2)$$

同理可得

$${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_1)& ({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2)& ({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_3)\\ ({\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_1)& ({\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_2)& ({\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3)\\ ({\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\xi }}_1)& ({\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\xi }}_2)& ({\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\xi }}_3)\end{array}\right)$$

由于 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3$ 两两正交，因此它们两两作内积均得 $0$；又因为三者均为单位向量，因此

$$({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_1)=({\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_2)=({\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\xi }}_3)=1$$

故有

$${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\mathbf{E}$$

据此推广，对于任意的正交矩阵 $\mathbf{Q}$，我们有

性质 1

$$\begin{array}{c}{\mathbf{Q}}^{-1}={\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Q}=\mathbf{Q}{\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{E}\end{array}$$

此性质是充要的。可以用来判定正交矩阵。

性质 2 若 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 是同阶正交矩阵，则 $\mathbf{AB}$ 也是正交矩阵。

证明

$$(\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{T}}(\mathbf{AB})={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AB}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}=\mathbf{E}$$

性质 3 若 $\mathbf{P}$ 为正交阵，且有列向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 满足 $\mathbf{y}=\mathbf{P}\mathbf{x}$，则 $\Vert \mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{y}\Vert$。

证明

$$\Vert \mathbf{y}\Vert =\sqrt{{\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{y}}=\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{x}}=\sqrt{{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}=\Vert \mathbf{x}\Vert$$