1.6* 专题：行列式的计算

内卷时间！

行列式的性质解题

行 (列) 和相等型

行 (列) 和相等：每一行或者列所有元素的和相等。

核心思路：归到第一行 (列)，使得第一行 (列) 的所有元素都相等，提取公因式，使得第一行 (列) 的所有元素都为 $1$ ，就可以去减其他行 (列) 了。

例 1

计算 $n$ 阶行列式 $| \begin{matrix} a & b & b & \dots & b \\ b & a & b & \dots & b \\ b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & b \\ a & b & b & \dots & a \end{matrix} |$ 。

第 $2, 3, \dots, n$ 列都加到第一列，提取公因式，然后第 $2, 3, \dots, n$ 列都减去第一列的 $b$ 倍。

\begin{aligned} 原 式 & = | \begin{array}{c} a + (n - 1) b & b & b & \dots & b \\ a + (n - 1) b & a & b & \dots & b \\ a + (n - 1) b & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & b \\ a + (n - 1) b & b & b & \dots & a \end{array} | \\ = [a + (n - 1) b] | \begin{array}{c} 1 & b & b & \dots & b \\ 1 & a & b & \dots & b \\ 1 & b & a & \dots & b \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & b \\ 1 & b & b & \dots & a \end{array} | \\ = [a + (n - 1) b] | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & a - b & 0 & \dots & 0 \\ 1 & 0 & a - b & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \dots & a - b \end{array} | \\ = [a + (n - 1) b] (a - b)^{n - 1} \end{aligned}

例 2

计算 $| \begin{matrix} 1 + a & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a \end{matrix} |$ 。

注意到每一列的和都是 $10 + a$ 。将第 $2, 3, \dots, n$ 行加到第一行，提取 $(10 + a)$ ：

| \begin{matrix} 10 + a & 10 + a & 10 + a & 10 + a \\ 2 & 2 + a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a \end{matrix} | = (10 + a) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 + a & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a \end{matrix} |

然后将第 $2, 3, \dots, n$ 行分别减去第一行的相应倍数：

(10 + a) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \end{matrix} |

已转化成上三角行列式。结果是 $a^{3} (a + 10)$ 。

爪型行列式

| \begin{matrix} * & * & * & * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * \end{matrix} |

我们把形如上面的行列式「爪型行列式」。

核心思路：将第第一行减去第二行的对应倍，使得 $a_{12} = 0$ ，然后减去第三行的对应倍使得 $a_{13} = 0$ ，以此类推，直到第一行除了 $a_{11}$ 之外都是 $0$ ，成功化为下三角行列式。

当然，「爪子」还可以是其他方向，核心思路相同：

| \begin{matrix} * & * & * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * \end{matrix} |, | \begin{matrix} * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * & * & * \end{matrix} |, | \begin{matrix} * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * & * & * \end{matrix} |

例 3

计算 $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} |$ 。

解：

原 式 = \frac{1}{12} | \begin{matrix} 12 & 12 & 12 & 12 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} | = \frac{1}{12} | \begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \end{matrix} | = - 2

例 4

计算 $| \begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & a_{2} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & a_{3} & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & a_{4} \end{matrix} |$ 。

解：

\begin{aligned} 原 式 & = | \begin{array}{c} 1 + \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \frac{4}{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & a_{2} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & a_{3} & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & a_{4} \end{array} | \\ = a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} (1 + \frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \frac{3}{a_{3}} + \frac{4}{a_{4}}) \end{aligned}

矩阵分块行列式

D_{1} = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ & 0 \\ a_{m 1} & \dots & a_{m m} \\ c_{11} & \dots & c_{1 m} & b_{11} & \dots & b_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n m} & b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{matrix} |, D_{2} = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m m} \end{matrix} |, D_{3} = | \begin{matrix} b_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{matrix} | D_{1} = D_{2} \times D_{3}

证明思路：把左上那块和右下那块分别化成下三角即可。

为表示方便，我们提前引入矩阵的表示法。比如我们定义矩阵 $A$ ：

A = (\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 m} \\ ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & \dots & a_{m m} \end{matrix})

那上面的 $D_{2}$ 就可以表示为：

D_{2} = | A |

同理，我们有：

B = (\begin{matrix} b_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ b_{n 1} & \dots & b_{n n} \end{matrix}), D_{3} = | B | C = (\begin{matrix} c_{11} & \dots & c_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ \\ c_{n 1} & \dots & c_{n n} \end{matrix}), D_{4} = | C |

那上面的 $D_{1}$ 即可表示为：

D_{1} = | \begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix} |

所以一开始的式子就可以写成：设 $A$ 是 $m$ 阶矩阵， $B$ 是 $n$ 阶矩阵，则有

| \begin{matrix} A & O \\ C & B \end{matrix} | = | \begin{matrix} A & D \\ O & B \end{matrix} | = | \begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix} | = | A | \cdot | B |

如果是副对角线，我们有

| \begin{matrix} O & A \\ B & C \end{matrix} | = | \begin{matrix} D & A \\ B & O \end{matrix} | = | \begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix} | = (- 1)^{m n} | A | \cdot | B |

这被称为拉普拉斯展开式。

例 5

计算 $| \begin{matrix} 0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ 0 & c & d & 0 \\ c & 0 & 0 & d \end{matrix} |$ 。

原 式 = - | \begin{matrix} b & a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & b \\ d & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & a & b \\ d & c & 0 & 0 \\ b & a & 0 & 0 \end{matrix} | = | \begin{matrix} c & d \\ a & b \end{matrix} | \cdot | \begin{matrix} d & c \\ b & a \end{matrix} | = - (a d - b c)^{2}

行列式展开定理解题

加边法

起源

已知三阶行列式 $D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = k$ ，

求解： $| \begin{matrix} 1 & * & * & * \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ⋮ & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$ 和 $| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ * & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ⋮ & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ * & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |$ 。

很简单，前者按第一列进行展开，后者按第一行进行展开。

原 式 = 1 \times (- 1)^{1 + 1} | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = k

所谓的「加边法」就是上面的逆过程 —— 也就是逆用展开定理。

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & * & * & * \\ 0 & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ⋮ & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ * & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ ⋮ & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ * & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |

在行列式比较难化简的时候，在 $*$ 处填入所需的数字，然后利用 $*$ 本身去化简本身即可。

例 6

计算： $| \begin{matrix} 1 + a_{1} & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 + a_{2} & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 + a_{3} & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 + a_{4} \end{matrix} |$ 。

解：

\begin{aligned} 原 式 & = | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 + a_{1} & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 + a_{2} & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 + a_{3} & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4 & 4 + a_{4} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & a_{2} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & a_{3} & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & a_{4} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 1 + \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & a_{2} & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 & a_{3} & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 & a_{4} \end{array} | \\ = (1 + \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}}) a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \end{aligned}

例 7

计算： $| \begin{matrix} 1 + a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & 1 + a_{2} & \dots & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & 1 + a_{n} \end{matrix} |$ 。

解：

\begin{aligned} 原 式 & = | \begin{array}{c} b_{1} + a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & b_{2} + a_{2} & \dots & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & \dots & b_{n} + a_{n} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ a_{1} & b_{1} + a_{1} & a_{1} & \dots & a_{1} \\ a_{2} & a_{2} & b_{2} + a_{2} & \dots & a_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} & a_{n} & a_{n} & \dots & b_{n} + a_{n} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & - 1 & - 1 \\ a_{1} & b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ a_{2} & 0 & b_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} & 0 & 0 & \dots & b_{n} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 1 + \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_{1} & b_{1} & 0 & \dots & 0 \\ a_{2} & 0 & b_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n} & 0 & 0 & \dots & b_{n} \end{array} | \\ = (1 + \sum_{i = 1}^{n} \frac{a_{i}}{b_{i}}) \prod_{i = 1}^{n} b_{n} \end{aligned}

么型行列式

| \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} |

像上面这样形状的行列式，我们称其为「么型行列式」。其他方向的也算：

| \begin{matrix} * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * & * & * \end{matrix} |, | \begin{matrix} * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * & * & * \end{matrix} |, | \begin{matrix} * & * & * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * \end{matrix} |, | \begin{matrix} * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} |

核心思路：沿开口所对的那条边展开：

| \begin{matrix} * & a \\ * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * & * & * & b \end{matrix} | \to \pm a | \begin{matrix} * & * \\ * & * \\ * & * \\ * & * & * & * \end{matrix} | \pm b | \begin{matrix} * \\ * & * \\ * & * \\ * & * \end{matrix} |

于是一个「么型行列式」就变成了一个小一阶的「么型行列式」加上一个下三角行列式。

例 8

计算： $| \begin{matrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} |$ 。

解：

原 式 = | \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | - | \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} | = (1 + 4 - 2) - 8 = - 5

例 9

计算 $n$ 阶行列式 $D_{n} = | \begin{matrix} 2 & 0 & \dots & 0 & 2 \\ - 1 & 2 & \dots & 0 & 2 \\ - 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & 2 & 2 \\ - 1 & 2 \end{matrix} |$ 。

解：

\begin{aligned} D_{n} & = 2 | \begin{array}{c} 2 & \dots & 0 & 2 \\ - 1 & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ ⋱ & 2 & 2 \\ - 1 & 2 \end{array} | + 2 (- 1)^{1 + n} | \begin{array}{c} - 1 & 2 & \dots & 0 \\ - 1 & 2 & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ - 1 \end{array} | \\ = 2 D_{n - 1} + 2 (- 1)^{1 + n} (- 1)^{n - 1} \\ = 2 D_{n - 1} + 2 (- 1)^{2 n} \\ = 2 D_{n - 1} + 2 \end{aligned}

$D_{n} = 2 D_{n - 1} + 2$ ，加上 $D_{1} = | 2 | = 2$ ，我们有

D_{n} + 2 = 2 (D_{n - 1} + 2), D_{1} + 2 = 4 \neq 0

于是

D_{n} + 2 = 4 \times 2^{n - 1} = 2^{n + 1} \Rightarrow D_{n} = 2^{n + 1} - 2

川型行列式

把形如下方的行列式称为「川型行列式」。

D_{n} = | \begin{matrix} * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} |

沿第一行或第一列展开：

D_{n} = | \begin{matrix} a & * \\ b & * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} | \to \pm a | \begin{matrix} * & * \\ * & * & * \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} | \pm | \begin{matrix} * \\ * & * & * \\ * & * & * \\ * & * \end{matrix} |

一个「川型行列式」被转化为两个小一阶的「川型行列式」。

例 10

设 $D_{n} = | \begin{matrix} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{matrix} |$ ，请写出 $D_{n}$ ， $D_{n - 1}$ 和 $D_{n - 2}$ 之间的关系。

\begin{aligned} D_{n} & = | \begin{array}{c} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array} | \\ = 2 a | \begin{array}{c} 2 a & 1 \\ a^{2} & 2 a & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array} | - a^{2} | \begin{array}{c} 2 a & 1 \\ a^{2} & ⋱ & 1 \\ a^{2} & 2 a \end{array} | \\ = 2 a D_{n - 1} - a^{2} D_{n - 2} \end{aligned}

范德蒙德行列式

V_{n} = | \begin{matrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \dots & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \dots & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} | = \prod_{n \geq i > j \geq 1} (x_{i} - x_{j}) = \prod (后 面 的 - 前 面 的)

证明：使用数学归纳法。

首先有

V_{2} = | \begin{matrix} 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} \end{matrix} | = x_{2} - x_{1} = \prod_{2 \geq i > j \geq 1} (x_{i} - x_{j})

所以 $n = 2$ 时原式成立。现在证原式对 $n - 1$ 阶范德蒙德行列式成立，其对 $n$ 阶范德蒙德行列式也成立。

将 $V_{n}$ 从第 $n$ 行开始，后行减前行的 $x_{1}$ 倍，有

\begin{aligned} V_{n} & = | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & x_{2} - x_{1} & \dots & x_{n} - x_{1} \\ 0 & x_{2} (x_{2} - x_{1}) & \dots & x_{n} (x_{n} - x_{1}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & x_{2}^{n - 2} (x_{2} - x_{1}) & \dots & x_{n}^{n - 2} (x_{n} - x_{1}) \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} x_{2} - x_{1} & \dots & x_{n} - x_{1} \\ x_{2} (x_{2} - x_{1}) & \dots & x_{n} (x_{n} - x_{1}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{2}^{n - 2} (x_{2} - x_{1}) & \dots & x_{n}^{n - 2} (x_{n} - x_{1}) \end{array} | \\ = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) \dots (x_{n} - x_{1}) | \begin{array}{c} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_{2} & x_{3} & \dots & x_{n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{2}^{n - 2} & x_{3}^{n - 2} & \dots & x_{n}^{n - 2} \end{array} | \\ = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) \dots (x_{n} - x_{1}) V_{n - 1} \end{aligned}

又有 $n - 1$ 阶范德蒙德行列式符合原等式，所以

\begin{aligned} V_{n} & = (x_{2} - x_{1}) (x_{3} - x_{1}) \dots (x_{n} - x_{1}) \prod_{n \geq i > j \geq 2} (x_{i} - x_{j}) \\ = \prod_{n \geq i > j \geq 1} (x_{i} - x_{j}) \end{aligned}

证毕。

例 11

计算 $| \begin{matrix} b + c & a + c & a + b \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{matrix} |$ 。

解：

\begin{aligned} | \begin{array}{c} b + c & a + c & a + b \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} a + b + c & a + b + c & a + b + c \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array} | \\ = | \begin{array}{c} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{2} & b^{2} & c^{2} \end{array} | \\ = (c - b) (c - a) (b - a) \end{aligned}

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