2.3 逆矩阵

伴随矩阵

伴随矩阵的定义

定义方阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ ：

A^{*} = A_{11} A_{21} ⋮ A_{n 1} A_{12} A_{22} ⋮ A_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots A_{1 n} A_{2 n} ⋮ A_{nn}^{T} = A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} ⋮ A_{2 n} \dots \dots ⋱ \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{nn}

其中 $A_{ij}$ 表示 $∣ A ∣$ 的代数余子式。

伴随矩阵的来源

之前在替换法则那里有

{a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + \dots + a_{in} A_{in} = D a_{i 1} A_{j 1} + a_{i 2} A_{j 2} + \dots + a_{in} A_{j n} = 0 (i \neq = j)

计算 $A A^{*}$ ：

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} ⋮ A_{2 n} \dots \dots ⋱ \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{nn} = ∣ A ∣ ∣ A ∣ ⋱ ∣ A ∣ = ∣ A ∣ E

同理，也有 $A^{*} A = ∣ A ∣ E$ 。

伴随矩阵纯粹是为了凑逆矩阵。

逆矩阵

逆矩阵的定义

矩阵乘法中，若 $∣ A ∣ \neq = 0$ ，则存在唯一的矩阵 $B$ ，使得 $AB = BA = E$ ，并称矩阵 $A$ 可逆，称矩阵 $B$ 为矩阵 $A$ 的逆矩阵，记作 $B = A^{- 1}$ 。

可逆的判定

矩阵 $A$ 可逆 $⟺ ∣ A ∣ \neq = 0$ 。

如果是抽象矩阵，存在 $AB = E$ 或 $BA = E$ 也可判断矩阵 $A$ 可逆。

逆矩阵的性质

若 $A$ 可逆，则 $A^{- 1}$ 也可逆，且 $(A^{- 1})^{- 1} = A$ 。
若 $A$ 可逆，且有常数 $λ \neq = 0$ ，则有 $(λ A)^{- 1} = \frac{1}{λ} A^{- 1}$ 。
原因： $(λ A) (\frac{1}{λ} A^{- 1}) = E$ 。
若 $A, B$ 为同阶矩阵且均可逆，则 $(AB)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$
原因：相乘等于 $E$ 。
若 $A$ 可逆，则 $A^{T}$ 也可逆，且 $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$ 。

逆与伴随

A A^{*} = ∣ A ∣ E \Rightarrow A \frac{A ^{*}}{∣ A ∣} = E \Rightarrow A^{- 1} = \frac{A ^{*}}{∣ A ∣} (∣ A ∣ \neq = 0)

例 1

有 $A = (a c b d)$ ，求 $A^{*}, A^{- 1}$ 。

A^{*} A^{- 1} = (A_{11} A_{12} A_{21} A_{22}) = (d - c - b a) = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

TIP

这里可以总结出一个二阶矩阵求伴随的技巧：

A = (a c b d) ⟶ A^{*} = (d - c - b a)

主对角线上两个元素对调，副对角线上两个元素变号，简记为「主对调，副反号」。

抽象矩阵相关的运算

抽象矩阵的逆

例 2

设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2} - 2 A - 3 E = O$ 。

证明 $A$ 为可逆矩阵，并求出 $A^{- 1}$ ；
证明 $(A + 2 E)$ 为可逆矩阵，并求 $(A + 2 E)^{- 1}$ 。

解：

第一小题：找到 $A (____) = E$

A^{2} - 2 A - 3 E A^{2} - 2 A A^{2} - 2 AE A \frac{A - 2 E}{3} = O = 3 E = 3 E = E \Rightarrow A^{- 1} = \frac{1}{3} (A - 2 E)

第二小题：凑出 $(A + 2 E) (____) = E$ （可以用大除法或者因式分解）

A^{2} - 2 A - 3 E A^{2} - 2 AE - 3 E^{2} (A + 2 E) (A - 4 E) + 5 E^{2} (A + 2 E) (- \frac{A - 4 E}{5}) = O = O = O = E \Rightarrow (A + 2 E)^{- 1} = - \frac{1}{5} (A - 4 E)

例 3

设 $A$ 为 $n$ 阶非零矩阵，且 $A^{3} = O$ ，证明： $A - E$ 和 $A + E$ 可逆。

证明：

A^{3} - E^{3} - E \Rightarrow (A - E)^{- 1} A^{3} + E^{3} E \Rightarrow (A + E)^{- 1} = (A - E) (A^{2} + AE + E^{2}) = (A - E) (A^{2} + A + E) = - (A^{2} + A + E) = (A + E) (A^{2} - AE + E^{2}) = (A + E) (A^{2} - A + E) = A^{2} - A + E

矩阵方程

例 4

已知 $A = 123224313$ , $B = (2513)$ , $C = 233301$ ，求矩阵 $X$ 使得 $AXB = C$ 。

AXB A^{- 1} A XB X B B^{- 1} X = C = A^{- 1} C = A^{- 1} C B^{- 1} = A^{- 1} C B^{- 1}

要验证 $A, B$ 是否可逆，然后就是算了。答案是 $- 2 10 - 10 1 - 4 4$ 。

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