1.3 $n$ 阶行列式的定义

从三阶到 $n$ 阶

三阶行列式中：

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ & =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ & -a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\end{array}$$

在行顺排的情况下，研究列表与符号的关系：

$$\begin{array}{cc}+& -\\ 123& 132\\ 231& 213\\ 312& 321\end{array}$$

偶排列均取正号，奇排列均取负号。因此，可将三阶行列式的定义重新写成：

$$\begin{array}{rl}{D}_3& =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ & =(-1{)}^{t(123)}{a}_{11}{a}_{22}{a}_{33}+(-1{)}^{t(231)}{a}_{12}{a}_{23}{a}_{31}+(-1{)}^{t(312)}{a}_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ & +(-1{)}^{t(132)}{a}_{11}{a}_{23}{a}_{32}+(-1{)}^{t(213)}{a}_{12}{a}_{21}{a}_{33}+(-1{)}^{t(321)}{a}_{13}{a}_{22}{a}_{31}\\ & =\sum _{p_1{p}_2{p}_3\in S_3}{(-1)}^{t(p_1{p}_2{p}_3)}{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}{a}_{3p_3}\end{array}$$

这样的转换对二阶行列式也成立。那么我们由此导出 $n$ 阶行列式的定义：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{p_1{p}_2\cdots p_n\in S_n}{(-1)}^{t(p_1{p}_2\cdots p_n)}{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}$$

另外，有个一阶行列式 $|a_{11}|$，和绝对值长得差不多但不一样。

$n$ 阶行列式也写作 $D=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(a_{ij}{)}_n$ 或 $D_n=\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(a_{ij})$。

例：判断 4 阶行列式中，项 $a_{14}{a}_{23}{a}_{41}{a}_{32}$ 前的符号。

$a_{14}{a}_{23}{a}_{41}{a}_{32}=a_{14}{a}_{23}{a}_{32}{a}_{41}$，有 $t(4321)=6$ 为偶数，故为正号。

一定用行来定义吗？

行列式的原始定义：每一项均取自不同行不同列 $n$ 个元素的乘积的「代数和」共有 $n!$ 项（注意，不是说 $q_1\cdots q_n\in S_n$ 和 $p_1\cdots p_n\in S_n$ 都会枚举过去变成 $n!\times n!$，因为这里面会重复），其正负由「行标逆序数 + 列标逆序数」的奇偶性决定。

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum {(-1)}^{t(q_1{q}_2\cdots q_n)+t(p_1{p}_2\cdots p_n)}{a}_{q_1}{p}_1{a}_{q_2}{p}_2\cdots a_{q_n}{p}_n$$

下面将其转化为按行来定义：

先关注乘积的部分 $a_{q_1}{p}_1{a}_{q_2}{p}_2\cdots a_{q_n}{p}_n$，先简化一下，假设 $n=5$，且此项中 $q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5=23451$，那这个乘积就变成 $a_{2p_1}{a}_{3p_2}{a}_{4p_3}{a}_{5p_4}{a}_{1p_5}$。用一下乘法交换律，让行标顺序排列，其实就是 $a_{1p_5}{a}_{2p_1}{a}_{3p_2}{a}_{4p_3}{a}_{5p_4}$，（如果 $q_i$ 写在里面的话其实就是 $a_{q_5{p}_5}{a}_{q_1{p}_1}{a}_{q_2{p}_2}{a}_{q_3{p}_3}{a}_{q_4{p}_4}$）。

现在考虑前面的符号。我们假设 $q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5\to q_5{q}_1{q}_2{q}_3{q}_4$（也就是 $23451\to 12345$）需要花费 $k$ 次对换，那么显然 $p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5\to p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4$ 同样需要 $k$ 次对换。我们知道 $t(12345)=0$，那么，本例中 $k$ 是偶数，那么奇偶性改变 $k$ 次之前的 $t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)$ 也是偶数，那么 $t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)+t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)$ 的奇偶性便和 $t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)$ 相同。又因为 $p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5\to p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4$ 同样需要偶数 $k$ 次对换，所以 $t(p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4)$ 的奇偶性也和 $t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)$ 相同。换言之，$t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)+t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)$ 的奇偶性和 $t(p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4)$ 也相同，即 $(-1{)}^{t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)+t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)}=(-1{)}^{t(p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4)}$。

和上面那个乘法交换律的变换合在一起，就有：

$$\begin{array}{rl}& (-1{)}^{t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)+t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)}{a}_{q_1}{p}_1{a}_{q_2}{p}_2{a}_{q_3}{p}_3{a}_{q_4}{p}_4{a}_{q_5}{p}_5\\ & =(-1{)}^{t(p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4)}{a}_{1p_5}{a}_{2p_1}{a}_{3p_2}{a}_{4p_3}{a}_{5p_4}\end{array}$$

上面的 $k$ 如果是奇数，这个逻辑也成立，$t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)+t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)$ 的奇偶性和 $t(p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4)$ 的奇偶性都和 $t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)$ 相反，那前两者的奇偶性便是相同的，$(-1{)}^{t(q_1{q}_2{q}_3{q}_4{q}_5)+t(p_1{p}_2{p}_3{p}_4{p}_5)}=(-1{)}^{t(p_5{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4)}$。

将上面的式子一般化，我们有

$$\begin{array}{rl}& \sum {(-1)}^{t(q_1{q}_2\cdots q_n)+t(p_1{p}_2\cdots p_n)}{a}_{q_1}{p}_1{a}_{q_2}{p}_2\cdots a_{q_n}{p}_n\\ & =\sum _{p_1{p}_2\cdots p_n\in S_n}{(-1)}^{t(p_1{p}_2\cdots p_n)}{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}\end{array}$$

也就是说两种定义是等价的。

同样地，我们可以写出按列的定义：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{q_1{q}_2\cdots q_n\in S_n}{(-1)}^{t(q_1{q}_2\cdots q_n)}{a}_{q_1}1a_{1_{2}2}\cdots a_{q_{n}n}$$

也就是说，行列式的行和列是等价的，可以相互转化。这是行列式的重要性质之一。

特殊的行列式

很多的 $0$

计算四阶行列式：

$$D_4=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 5\\ 0& 0& 4& 6\\ 1& 3& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\end{array}\right|$$

在行列式的定义式中，每一项的 4 个元素都来自不同行不同列。这个行列式里面先看第一行，只有一个不为零的数 $5$，那我们就只看包含这个 $5$ 的项，不去管另外三个 $0$ 了。所以，和这个 $5$ 在同一列上的其他数字都可以不看了：

$$D_4=\left|\begin{array}{cccc}\cancel{0}& \cancel{0}& \cancel{0}& 5\\ 0& 0& 4& \cancel{6}\\ 1& 3& 0& \cancel{0}\\ 2& 0& 0& \cancel{0}\end{array}\right|$$

同理，看第二行，选 $4$；最后一行选 $2$：

$$D_4=\left|\begin{array}{cccc}\cancel{0}& \cancel{0}& \cancel{0}& 5\\ \cancel{0}& \cancel{0}& 4& \cancel{6}\\ \cancel{1}& 3& \cancel{0}& \cancel{0}\\ 2& \cancel{0}& \cancel{0}& \cancel{0}\end{array}\right|$$

$t(4321)=6$，偶数，取正号，于是 $D_4=5\times 4\times 3\times 2=120$。

求 $x^k$ 的系数

已知 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x& x& 1& 2x\\ 1& x& 2& -1\\ 2& 1& x& 1\\ 2& -1& 1& x\end{array}\right|$，求 $f(x)$ 中 $x^4$ 的系数。

要找到不同行不同列的 4 个 $x$，只有主对角线上的 4 个元素满足要求。答案就是 $1$。

对角行列式与上 (下) 三角行列式

$$D_n=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ 0& & & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & 0\\ a_{21}& a_{22}& & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

对角行列式：只有对角线上的元素非零，其他元素都是 $0$。和前面的一个逻辑，求和式里面只有对角线这一项不为零，所以结果就是把对角线上的全部乘起来，判断符号。主对角线一定是正号，副对角线的话正负号看 $C_n^2$ 的奇偶性。

上 (下) 三角行列式：对角线上 (下) 都是 $0$。道理和对角行列式一样，值也和对应的对角行列式一样，只有对角线上的元素有用。