1.3 $n$ 阶行列式的定义

从三阶到 $n$ 阶

三阶行列式中：

a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}

在行顺排的情况下，研究列表与符号的关系：

+ 123231312 - 132213321

偶排列均取正号，奇排列均取负号。因此，可将三阶行列式的定义重新写成：

D_{3} = a_{11} a_{21} a_{31} a_{12} a_{22} a_{32} a_{13} a_{23} a_{33} = (- 1)^{t (123)} a_{11} a_{22} a_{33} + (- 1)^{t (231)} a_{12} a_{23} a_{31} + (- 1)^{t (312)} a_{13} a_{21} a_{32} + (- 1)^{t (132)} a_{11} a_{23} a_{32} + (- 1)^{t (213)} a_{12} a_{21} a_{33} + (- 1)^{t (321)} a_{13} a_{22} a_{31} = p_{1} p_{2} p_{3} \in S_{3} \sum (- 1)^{t (p_{1} p_{2} p_{3})} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} a_{3 p_{3}}

这样的转换对二阶行列式也成立。那么我们由此导出 $n$ 阶行列式的定义：

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = p_{1} p_{2} \dots p_{n} \in S_{n} \sum (- 1)^{t (p_{1} p_{2} \dots p_{n})} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

另外，有个一阶行列式 $∣ a_{11} ∣$ ，和绝对值长得差不多但不一样。

$n$ 阶行列式也写作 $D = det (a_{ij})_{n}$ 或 $D_{n} = det (a_{ij})$ 。

例：判断 4 阶行列式中，项 $a_{14} a_{23} a_{41} a_{32}$ 前的符号。
$a_{14} a_{23} a_{41} a_{32} = a_{14} a_{23} a_{32} a_{41}$ ，有 $t (4321) = 6$ 为偶数，故为正号。

一定用行来定义吗？

行列式的原始定义：每一项均取自不同行不同列 $n$ 个元素的乘积的「代数和」共有 $n!$ 项（注意，不是说 $q_{1} \dots q_{n} \in S_{n}$ 和 $p_{1} \dots p_{n} \in S_{n}$ 都会枚举过去变成 $n! \times n!$ ，因为这里面会重复），其正负由「行标逆序数 + 列标逆序数」的奇偶性决定。

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = \sum (- 1)^{t (q_{1} q_{2} \dots q_{n}) + t (p_{1} p_{2} \dots p_{n})} a_{q_{1}} p_{1} a_{q_{2}} p_{2} \dots a_{q_{n}} p_{n}

下面将其转化为按行来定义：

先关注乘积的部分 $a_{q_{1}} p_{1} a_{q_{2}} p_{2} \dots a_{q_{n}} p_{n}$ ，先简化一下，假设 $n = 5$ ，且此项中 $q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5} = 23451$ ，那这个乘积就变成 $a_{2 p_{1}} a_{3 p_{2}} a_{4 p_{3}} a_{5 p_{4}} a_{1 p_{5}}$ 。用一下乘法交换律，让行标顺序排列，其实就是 $a_{1 p_{5}} a_{2 p_{1}} a_{3 p_{2}} a_{4 p_{3}} a_{5 p_{4}}$ ，（如果 $q_{i}$ 写在里面的话其实就是 $a_{q_{5} p_{5}} a_{q_{1} p_{1}} a_{q_{2} p_{2}} a_{q_{3} p_{3}} a_{q_{4} p_{4}}$ ）。

现在考虑前面的符号。我们假设 $q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5} \to q_{5} q_{1} q_{2} q_{3} q_{4}$ （也就是 $23451 \to 12345$ ）需要花费 $k$ 次对换，那么显然 $p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5} \to p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4}$ 同样需要 $k$ 次对换。我们知道 $t (12345) = 0$ ，那么，本例中 $k$ 是偶数，那么奇偶性改变 $k$ 次之前的 $t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5})$ 也是偶数，那么 $t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}) + t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})$ 的奇偶性便和 $t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})$ 相同。又因为 $p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5} \to p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4}$ 同样需要偶数 $k$ 次对换，所以 $t (p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4})$ 的奇偶性也和 $t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})$ 相同。换言之， $t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}) + t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})$ 的奇偶性和 $t (p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4})$ 也相同，即 $(- 1)^{t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}) + t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})} = (- 1)^{t (p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4})}$ 。

和上面那个乘法交换律的变换合在一起，就有：

(- 1)^{t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}) + t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})} a_{q_{1}} p_{1} a_{q_{2}} p_{2} a_{q_{3}} p_{3} a_{q_{4}} p_{4} a_{q_{5}} p_{5} = (- 1)^{t (p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4})} a_{1 p_{5}} a_{2 p_{1}} a_{3 p_{2}} a_{4 p_{3}} a_{5 p_{4}}

上面的 $k$ 如果是奇数，这个逻辑也成立， $t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}) + t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})$ 的奇偶性和 $t (p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4})$ 的奇偶性都和 $t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})$ 相反，那前两者的奇偶性便是相同的， $(- 1)^{t (q_{1} q_{2} q_{3} q_{4} q_{5}) + t (p_{1} p_{2} p_{3} p_{4} p_{5})} = (- 1)^{t (p_{5} p_{1} p_{2} p_{3} p_{4})}$ 。

将上面的式子一般化，我们有

\sum (- 1)^{t (q_{1} q_{2} \dots q_{n}) + t (p_{1} p_{2} \dots p_{n})} a_{q_{1}} p_{1} a_{q_{2}} p_{2} \dots a_{q_{n}} p_{n} = p_{1} p_{2} \dots p_{n} \in S_{n} \sum (- 1)^{t (p_{1} p_{2} \dots p_{n})} a_{1 p_{1}} a_{2 p_{2}} \dots a_{n p_{n}}

也就是说两种定义是等价的。

同样地，我们可以写出按列的定义：

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = q_{1} q_{2} \dots q_{n} \in S_{n} \sum (- 1)^{t (q_{1} q_{2} \dots q_{n})} a_{q_{1}} 1 a_{1_{2} 2} \dots a_{q_{n} n}

也就是说，行列式的行和列是等价的，可以相互转化。这是行列式的重要性质之一。

特殊的行列式

很多的 $0$

计算四阶行列式：

D_{4} = 0012003004005600

在行列式的定义式中，每一项的 4 个元素都来自不同行不同列。这个行列式里面先看第一行，只有一个不为零的数 $5$ ，那我们就只看包含这个 $5$ 的项，不去管另外三个 $0$ 了。所以，和这个 $5$ 在同一列上的其他数字都可以不看了：

D_{4} = 0012003004005600

同理，看第二行，选 $4$ ；最后一行选 $2$ ：

D_{4} = 0012003004005600

$t (4321) = 6$ ，偶数，取正号，于是 $D_{4} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$ 。

求 $x^{k}$ 的系数

已知 $f (x) = x 122 x x 1 - 1 12 x 1 2 x - 1 1 x$ ，求 $f (x)$ 中 $x^{4}$ 的系数。

要找到不同行不同列的 4 个 $x$ ，只有主对角线上的 4 个元素满足要求。答案就是 $1$ 。

对角行列式与上 (下) 三角行列式

D_{n} = a_{11} a_{22} ⋱ a_{nn} = a_{11} 0 a_{12} a_{22} \dots \dots ⋱ a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{22} ⋮ a_{n 2} ⋱ \dots 0 a_{nn}

对角行列式：只有对角线上的元素非零，其他元素都是 $0$ 。和前面的一个逻辑，求和式里面只有对角线这一项不为零，所以结果就是把对角线上的全部乘起来，判断符号。主对角线一定是正号，副对角线的话正负号看 $C_{n}^{2}$ 的奇偶性。

上 (下) 三角行列式：对角线上 (下) 都是 $0$ 。道理和对角行列式一样，值也和对应的对角行列式一样，只有对角线上的元素有用。

1.3 n 阶行列式的定义 ​

从三阶到 n 阶 ​

一定用行来定义吗？ ​

特殊的行列式 ​

很多的 0 ​

求 xk 的系数 ​

对角行列式与上 (下) 三角行列式 ​