5.4 对称矩阵的对角化

现在回忆一下此前的相似对角化的条件：

1. 每个单根特征值，都能提供一个无关的特征向量；
2. 不同特征值的特征向量一定线性无关；
3. 如果 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 具有 $n$ 个不同的特征值，则矩阵一定可以相似对角化。

因此，我们判断矩阵 $\mathbf{A}$ 是否可以相似对角化，其关键就在于那些重根能否提供足够的无关向量。

对称矩阵的对角化

在 2.1 中介绍矩阵概念时，我们提到过了对称矩阵的概念。

如果一个方阵中的所有元素关于主对角线对称，即 $\mathbf{A}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，该矩阵称为对称矩阵：

$$\left(\begin{array}{ccc}a& d& e\\ d& b& f\\ e& f& c\end{array}\right)$$

对称矩阵的对角化有以下两个结论：

1. 实对称矩阵，一定可以相似对角化；
2. 不同特征值的特征向量一定正交（比无关更强）。

而属于同一特征值的特征向量，如果不正交，我们可以将其正交化。在此基础上，如果我们把这些特征向量单位化，我们就一定能得到一个正交矩阵 $\mathbf{Q}$，使得 ${\mathbf{Q}}^{-1}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$。

如下图（其中 ${\lambda }_i$ 到 ${\lambda }_{i+k}$ 表示重根）：

例 1

设矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$，求正交矩阵 $\mathbf{Q}$，使得 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$。

对于正交矩阵 $\mathbf{Q}$，有 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}={\mathbf{Q}}^{-1}$。本质还是对角化。

1. 求特征值：

   $$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0\Rightarrow {\lambda }_1=2,{\lambda }_{2}4$$

2. 求特征向量：

   $$\{\begin{array}{l}(\mathbf{A}-{\lambda }_1\mathbf{E})\mathbf{x}=0⟹基础解系:{\mathbf{\xi }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\\ (\mathbf{A}-{\lambda }_2\mathbf{E})\mathbf{x}=0⟹基础解系:{\mathbf{\xi }}_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

3. 正交相似对角化：${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2$ 属于不同特征值的特征向量，必然正交

   $$\begin{array}{c}{\mathbf{e}}_1=\frac{{\mathbf{\xi }}_1}{\Vert {\mathbf{\xi }}_1\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ {\mathbf{e}}_2=\frac{{\mathbf{\xi }}_2}{\Vert {\mathbf{\xi }}_2\Vert }=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\end{array}$$

因此我们有

$$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right),\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$$

则 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AQ}=\mathbf{\Lambda }$。

例 2

求矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$，求一个正交矩阵 $\mathbf{P}$，使得 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$。

1. 求特征值

   $$\begin{array}{rl}|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|& =\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & -1& 1\\ -1& -\lambda & 1\\ 1& 1& -\lambda \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0& 0\\ -1& -1-\lambda & 1\\ 1& 2& -\lambda \end{array}\right|\\ & =(1-\lambda )({\lambda }^2+\lambda -2)\\ & =-(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)=0\end{array}$$

   解得 ${\lambda }_1=-2$，${\lambda }_2={\lambda }_3=1$。

2. 求特征向量

   1. 当 ${\lambda }_1=-2$ 时，求解 $(\mathbf{A}+2\mathbf{E})\mathbf{x}=0$

      $$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=-x_3\\ x_2=-x_3\\ x_3=x_3\end{array}\Rightarrow \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)k_2\end{array}$$

      其中 $k_1$ 为任意常数。因此得到基础解系 $\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$。

   2. 当 ${\lambda }_2={\lambda }_3=1$ 时，求解 $(\mathbf{A}-\mathbf{E})\mathbf{x}=0$

      $$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=x_2+x_3\\ x_2=x_2\\ x_3=x_3\end{array}\Rightarrow \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)k_2+\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)k_3\end{array}$$

      其中 $k_2,k_3$ 为任意常数，得到基础解系 $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$，$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$。

3. 正交化单位化

   1. 重根的特征向量正交化

      $$\begin{array}{rl}{\mathbf{b}}_1& ={\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\\ {\mathbf{b}}_2& ={\mathbf{a}}_2-\frac{({\mathbf{a}}_2,{\mathbf{b}}_1)}{({\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_1)}{\mathbf{b}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)-\frac{-1}{2}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

   2. 特征向量单位化

      $$\begin{array}{rl}{\mathbf{e}}_1& =\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1{)}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{e}}_2& =\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0{)}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{e}}_3& =\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

4. 得到

   $$\begin{array}{rl}\mathbf{P}& =({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& 0\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& 0& \frac{2}{\sqrt{6}}\end{array}\right)\end{array}$$