3.2 矩阵的秩与方程组解的情况

秩的概念

行阶梯形矩阵或行最简形矩阵非零行的个数，也就是主元的个数，本质上就是这个方程组的有效方程的个数。

我们将这个数称为矩阵的秩。矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩用 $R(\mathbf{A})$ 表示。

无解时的秩

考虑下面这个方程组。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=1\\ x_1-x_2-x_3=3\\ 2x_1-2x_2-x_3=3\end{array}$$

我们把增广矩阵写出来，然后进行变换。

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{A},\mathbf{b})=& \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 3\\ 2& -2& -1& 3\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 0& -2& 2\\ 0& 0& -3& 1\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& -3& 1\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& -2\end{array}\right)\end{array}$$

我们可以看出 $R(\mathbf{A})=2$，而 $R(\mathbf{A},\mathbf{b})=3$。

关注变换后的最后一行。翻译一下，其实就是 $0=-2$，显然不成立。也就是说，此方程组无解。

从秩的角度看，只要 $R(\mathbf{A},\mathbf{b})>R(\mathbf{A})$，就会在最后出现 $0=k\ne 0$ 这样的方程。也就是说，只要 $R(\mathbf{A},\mathbf{b})>R(\mathbf{A})$，方程组就无解。

唯一解时的秩

考虑下面这个方程组。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+3x_2+x_3=2\\ 3x_1+4x_2+2x_3=9\\ -x_1-5x_2+4x_3=10\\ 2x_1+7x_2+x_3=1\end{array}$$

我们把增广矩阵写出来，然后进行变换。

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{A},\mathbf{b})=& \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 3& 4& 2& 9\\ -1& -5& 4& 10\\ 2& 7& 1& 1\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& -5& -1& 3\\ 0& -2& 5& 12\\ 0& 1& -1& -3\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& -5& -1& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& -1& -2\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 2\\ 0& -5& -1& 3\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

$R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})$，有解。我们继续将其化为行最简形矩阵。

$$\begin{array}{rl}& \to \left(\begin{array}{cccc}1& 3& 0& 0\\ 0& -5& 0& 5\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 3\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & \Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_1=3\\ x_2=-1\\ x_3=2\end{array}\end{array}$$

这里我们注意到，$R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})=3$，也就是未知数的个数。当我们最终化到行最简型矩阵的时候，我们实际上写出了 $R(\mathbf{A})$ 个 $x_i=p_i$。只有秩等于未知数的个数时，方程才解出了唯一解。

无穷多解时的秩

考虑下面这个方程组。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=1\\ x_1-x_2-x_3=3\\ 2x_1-2x_2-x_3=5\end{array}$$

我们把增广矩阵写出来，然后进行变换。

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{A},\mathbf{b})=& \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 1& -1& -1& 3\\ 2& -2& -1& 5\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 0& -2& 2\\ 0& 0& -3& 3\end{array}\right)\\ \to & \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

$R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})$，有解。我们继续将其化为行最简形矩阵。

$$\begin{array}{rl}& \to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

无法继续化简。这就是行最简型矩阵了。我们把它化成方程组。

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=2\\ x_3=-1\end{array}$$

显然，这个方程组有无穷多解。其秩小于未知数的个数。

秩与方程组解的情况的关系

我们用 $n$ 来表示未知数的个数，就有：

1. $R(\mathbf{A},\mathbf{b})>R(\mathbf{A})$，方程组无解；
2. $R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})=n$，方程组有唯一解；
3. $R(\mathbf{A},\mathbf{b})=R(\mathbf{A})<n$，方程组有无穷多解。

我们其实已经基本讨论清楚了如何用矩阵解线性方程组。我们将在下一节介绍如歌将无穷多解的通解表示出来。