1.1 二阶与三阶行列式

二元线性方程组与二阶行列式

用消元法解二元一次方程组 $\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2=b_1\\ a_{21}{x}_2+a_{22}{x}_2=b_2\end{array}$

解得（在 $a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\ne 0$ 的情况下）：

$$x_1=\frac{b_1{a}_{22}-a_{12}{b}_2}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}},x_2=\frac{a_{11}{b}_2-b_1{a}_{21}}{a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}}$$

注意到四个系数 $a_1,a_2,a_3,a_4$，将其排成二行二列的表，称为二阶行列式。该行列式称为上述方程的系数行列式。

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$$

其中的数称为行列式的元素或者元。对于元素 $a_{ij}$，$i$ 称为行标，$j$ 称为列标，这个元素称为该行列式的 $(i,j)$ 元。

主对角线：从左上角到右下角；副对角线：从右上角到左下角。

定义二阶行列式的值为主对角线相乘减去副对角线相乘，即：

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$$

于是刚刚的解可以写成：

$$x_1=\frac{\left|\begin{array}{cc}{b}_1& a_{12}\\ b_2& a_{22}\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|},x_2=\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& b_1\\ a_{21}& b_2\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|}$$

并且，这里的 $\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}$ 作为解的分母，当它等于 $0$ 时，也就是 $\frac{a_{11}}{a_{21}}=\frac{a_{12}}{a_{22}}$，该方程组无解或有无数多组解（取决于 $b_1,b_2$ 的值）。所以这个行列式可以认为是该方程组的「判别式」，其不为零时方程组有唯一的一组解。行列式的英文 determinant，就是「决定条件」的意思，也因此行列式常用大写字母 $D$ 表示。

$$D=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right|$$

也就是说，行列式是行数等于列数、边界有两条竖线的算式，其结果是一个数。

三阶行列式

定义：

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\\ & =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ & -a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\end{array}$$

辅助计算的方法 —— 在右边抄一遍，就可以继续用斜线了：

$$\begin{array}{cccccc}11& 12& 13& 11& 12& 13\\ 21& 22& 23& 21& 22& 23\\ 31& 32& 33& 31& 32& 33\end{array}$$

类似地，我们有

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3=b_2\\ a_{31}{x}_1+a_{32}{x}_2+a_{33}{x}_3=b_3\end{array}\mathrm{有唯一的一组解}\\ & \iff \left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\ne 0\end{array}$$

二阶和三阶行列式统称为低阶行列式。对角线法则仅在低阶行列式有效。