2.6 克拉默法则（二）

与方程有关的几个矩阵

对于非齐次线性方程组：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\cdots +a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

矩阵 $\mathit{A}$：系数矩阵

$$\mathit{A}=(a_{ij})=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),$$

矩阵 $\mathit{x}$：未知数矩阵（注意是列矩阵）

$$\mathit{x}=(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$$

矩阵 $\mathit{b}$：常数项矩阵（注意是列矩阵）

$$\mathit{b}=(b_1,b_2,b_3,\cdots ,b_n{)}^{\mathrm{T}}$$

矩阵 $\mathit{B}$：增广矩阵

$$\mathit{B}=(\mathit{A},\mathit{b})=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

TIP

这里的 $(\mathit{A},\mathit{b})$ 是分块矩阵的写法。

用矩阵表示方程组

考虑方程组的第 $i$ 个方程 $a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=b_i$，等式的左边其实可以写成系数矩阵的第 $i$ 行乘上未知数矩阵：

$$\begin{array}{c}{a}_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=b_i\\ \iff (a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in})\mathit{x}=b_i\end{array}$$

进一步推广，实际上原来的整个方程组等价于这样一个矩阵方程：

$$\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b}$$

矩阵方程组与克拉默法则

先回顾一下 1.7 克拉默法则（一） 中克拉默法则的表述：

如果线性方程组的系数行列式不为零，即

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\end{array}\right|\ne 0$$

那么该线性方程组有唯一的一组解，解可以表示为：

$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}$$

其中，$D_j$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用方程组右端的常数项代替之后所得到的 $n$ 阶行列式，即

$$D_j=\left|\begin{array}{ccccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1(j-1)}& b_1& a_{1(j+1)}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n(j-1)}& b_n& a_{n(j+1)}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

当方程组的位置数数量与方程数量一致时，系数矩阵 $\mathit{A}$ 变为方阵。当 $|\mathit{A}|\ne 0$ 时 ${\mathit{A}}^{-1}$ 存在。故有

$$\begin{array}{c}\mathit{A}\mathit{x}=\mathit{b}\Rightarrow \mathit{x}={\mathit{A}}^{-1}\mathit{b}=\frac{1}{|\mathit{A}|}{\mathit{A}}^{\ast }\mathit{b}\\ \begin{array}{rl}\Rightarrow \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)& =\frac{1}{|\mathit{A}|}\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{|\mathit{A}|}\left(\begin{array}{c}{b}_1{A}_{11}+b_2{A}_{21}+\cdots +b_n{A}_{n1}\\ b_1{A}_{12}+b_2{A}_{22}+\cdots +b_n{A}_{n2}\\ ⋮\\ b_1{A}_{1n}+b_2{A}_{2n}+\cdots +b_n{A}_{nn}\end{array}\right)\end{array}\\ \Rightarrow x_j=\frac{1}{|\mathit{A}|}(b_1{A}_{1j}+b_2{A}_{2j}+\cdots +b_n{A}_{nj})=\frac{1}{|\mathit{A}|}{D}_j\end{array}$$

很愉快地证完了。这就是矩阵的魅力。