2.6 克拉默法则（二）

与方程有关的几个矩阵

对于非齐次线性方程组：

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \dots a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{nn} x_{n} = b_{n}

矩阵 $A$ ：系数矩阵

A = (a_{ij}) = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn},

矩阵 $x$ ：未知数矩阵（注意是列矩阵）

x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n})^{T}

矩阵 $b$ ：常数项矩阵（注意是列矩阵）

b = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n})^{T}

矩阵 $B$ ：增广矩阵

B = (A, b) = a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} b_{1} b_{2} ⋮ b_{m}

TIP

这里的 $(A, b)$ 是分块矩阵的写法。

用矩阵表示方程组

考虑方程组的第 $i$ 个方程 $a_{i 1} x_{1} + a_{i 2} x_{2} + \dots + a_{in} x_{n} = b_{i}$ ，等式的左边其实可以写成系数矩阵的第 $i$ 行乘上未知数矩阵：

a_{i 1} x_{1} + a_{i 2} x_{2} + \dots + a_{in} x_{n} = b_{i} \Leftrightarrow (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{in}) x = b_{i}

进一步推广，实际上原来的整个方程组等价于这样一个矩阵方程：

Ax = b

矩阵方程组与克拉默法则

先回顾一下 1.7 克拉默法则（一）中克拉默法则的表述：

如果线性方程组的系数行列式不为零，即
$D = a_{11} a_{21} ⋮ a_{11} a_{12} a_{22} ⋮ a_{12} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{1 n} \neq = 0$
那么该线性方程组有唯一的一组解，解可以表示为：
$x_{1} = \frac{D _{1}}{D}, x_{2} = \frac{D _{2}}{D}, \dots, x_{n} = \frac{D _{n}}{D}$
其中， $D_{j}$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用方程组右端的常数项代替之后所得到的 $n$ 阶行列式，即
$D_{j} = a_{11} ⋮ a_{n 1} \dots \dots a_{1 (j - 1)} ⋮ a_{n (j - 1)} b_{1} ⋮ b_{n} a_{1 (j + 1)} ⋮ a_{n (j + 1)} \dots \dots a_{1 n} ⋮ a_{nn}$

当方程组的位置数数量与方程数量一致时，系数矩阵 $A$ 变为方阵。当 $∣ A ∣ \neq = 0$ 时 $A^{- 1}$ 存在。故有

Ax = b \Rightarrow x = A^{- 1} b = \frac{1}{∣ A ∣} A^{*} b \Rightarrow x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = \frac{1}{∣ A ∣} A_{11} A_{12} ⋮ A_{1 n} A_{21} A_{22} ⋮ A_{2 n} \dots \dots ⋱ \dots A_{n 1} A_{n 2} ⋮ A_{n} b_{1} b_{2} ⋮ b_{n} = \frac{1}{∣ A ∣} b_{1} A_{11} + b_{2} A_{21} + \dots + b_{n} A_{n 1} b_{1} A_{12} + b_{2} A_{22} + \dots + b_{n} A_{n 2} ⋮ b_{1} A_{1 n} + b_{2} A_{2 n} + \dots + b_{n} A_{nn} \Rightarrow x_{j} = \frac{1}{∣ A ∣} (b_{1} A_{1 j} + b_{2} A_{2 j} + \dots + b_{n} A_{nj}) = \frac{1}{∣ A ∣} D_{j}

很愉快地证完了。这就是矩阵的魅力。

2.6 克拉默法则（二） ​

与方程有关的几个矩阵 ​

用矩阵表示方程组 ​

矩阵方程组与克拉默法则 ​

2.6 克拉默法则（二）

与方程有关的几个矩阵

用矩阵表示方程组

矩阵方程组与克拉默法则