1.7 克拉默法则（一）

我们从二元一次方程组和三元一次方程组中抽象出了二阶和三阶行列式的概念，并将其推广到 $n$ 阶，还发掘出了不少优美的性质。
然后呢？有什么用？
当然是要先回到方程组了。

WARNING

克拉默法则并非解线性方程组的最好途径。我们将在第三章中详细介绍高斯消元法解线性方程组。

设线性方程组

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

若常数项 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 不全为零，则称此方程组为非齐次线性方程组；反之，若常数项 $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ 全为零，则称其为齐次线性方程组。

对于齐次线性方程组， $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = 0$ 一定是它的解，这个解叫做该齐次线性方程组的零解。与之对应，不全为零的解称为该齐次线性方程组的非零解。

克拉默法则

如果线性方程组的系数行列式不为零，即

D = | \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \end{matrix} | \neq 0

那么该线性方程组有唯一的一组解，解可以表示为：

x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, \dots, x_{n} = \frac{D_{n}}{D}

其中， $D_{j}$ 是把系数行列式 $D$ 中第 $j$ 列的元素用方程组右端的常数项代替之后所得到的 $n$ 阶行列式，即

D_{j} = | \begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 (j - 1)} & b_{1} & a_{1 (j + 1)} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n (j - 1)} & b_{n} & a_{n (j + 1)} & \dots & a_{n n} \end{matrix} |

证明用系数行列式 $D$ 的第 $j$ 列元素的代数余子式 $A_{1 j}, A_{2 j}, \dots, A_{n j}$ 依次乘方程组的 $n$ 个方程，得到

{\begin{cases} (a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}) A_{1 j} = b_{1} A_{1 j} \\ (a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n}) A_{2 j} = b_{2} A_{2 j} \\ \dots \\ (a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n}) A_{n j} = b_{n} A_{n j} \end{cases}

再把 $n$ 个方程依次相加，得

(x_{1} \sum_{k = 1}^{n} a_{k 1} A_{k j}) + \dots + (x_{j} \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} A_{k j}) + \dots + (x_{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{k n} A_{k j}) = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} A_{k j}

根据我们的「替换法则」，有

\sum_{k = 1}^{n} a_{k i} A_{k j} = 0 (i \neq j)

因此，上式化简为

x_{j} \sum_{k = 1}^{n} a_{k j} A_{k j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{k} A_{k j}

继续应用「替换法则」，即可得到

D x_{j} = D_{j}

因此原方程组的解为

x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, \dots, x_{n} = \frac{D_{n}}{D}

证毕。

一些相关的定理

定理如果线性方程组无解或有解但不唯一，则其系数行列式必为零。

定理如果齐次线性方程组的系数行列式 $D \neq 0$ ，则它没有非零解。反之，如果它有非零解，则其系数行列式 $D = 0$ 。

例

问 $λ$ 取何值时，齐次方程组 ${\begin{cases} (1 - λ) x_{1} - 2 x_{2} + 4 x_{3} = 0 \\ 2 x_{1} + (3 - λ) x_{2} + x_{3} = 0 \\ x_{1} + x_{2} + (1 - λ) x_{3} = 0 \end{cases}$ 有非零解？

解：

\begin{aligned} D & = | \begin{array}{c} 1 - λ & - 2 & 4 \\ 2 & 3 - λ & 1 \\ 1 & 1 & 1 - λ \end{array} | \\ = (1 - λ)^{2} (3 - λ) - 2 + 8 - 4 (3 - λ) - (1 - λ) + 4 (1 - λ) \\ = (1 - λ)^{2} (3 - λ) - (3 - λ) \\ = λ (λ - 2) (3 - λ) \end{aligned}

故 $λ = 0, 2, 3$ 时原方程组有非零解。

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