6.3 基变换与坐标变换

同一向量在不同的基中有不同的坐标，本节考虑不同的基与不同的坐标 之间的关系。

设 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n$ 及 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n$ 时线性空间 $V_n$ 中的两个基，且有

$$\{\begin{array}{l}{\mathit{\beta }}_1=p_{11}{\mathit{\alpha }}_1+p_{21}{\mathit{\alpha }}_2+\cdots +p_{n1}\\ {\mathit{\beta }}_2=p_{12}{\mathit{\alpha }}_1+p_{22}{\mathit{\alpha }}_2+\cdots +p_{n2}\\ \cdots \\ {\mathit{\beta }}_n=p_{1n}{\mathit{\alpha }}_1+p_{2n}{\mathit{\alpha }}_2+\cdots +p_{nn}\end{array}$$

记 $n$ 阶矩阵 $\mathit{P}=(p_{ij})$，则有

$$({\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n)=({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n)\mathit{P}$$

该式称为基变换公式，矩阵 $\mathit{P}$ 称为由基 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n$ 的过渡矩阵。显然，过渡矩阵是可逆的。

设 $V$ 中的向量 $\mathit{\alpha }$ 在基 ${\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n$ 中的坐标为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$，我们自然希望求出其在 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n$ 下的坐标。我们有

$$\begin{array}{rl}\mathit{\alpha }& =({\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\\ & =({\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n){\mathit{P}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\end{array}$$

因此，如果我们记

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)={\mathit{P}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

那就有

$$\mathit{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)({\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n)$$

因此，$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }{)}^{\mathrm{T}}$ 就是 $\mathit{\alpha }$ 在基 ${\mathit{\beta }}_1,{\mathit{\beta }}_2,\cdots ,{\mathit{\beta }}_n$ 下的新坐标。因此，我们记：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)={\mathit{P}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\mathrm{或}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\mathit{P}\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)$$

该式称为坐标变换公式。