6.3 基变换与坐标变换

同一向量在不同的基中有不同的坐标，本节考虑不同的基与不同的坐标 之间的关系。

设 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 及 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 时线性空间 $V_n$ 中的两个基，且有

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_1=p_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{n1}\\ {\mathbf{\beta }}_2=p_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{n2}\\ \cdots \\ {\mathbf{\beta }}_n=p_{1n}{\mathbf{\alpha }}_1+p_{2n}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +p_{nn}\end{array}$$

记 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{P}=(p_{ij})$，则有

$$({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{P}$$

该式称为基变换公式，矩阵 $\mathbf{P}$ 称为由基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 到基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 的过渡矩阵。显然，过渡矩阵是可逆的。

设 $V$ 中的向量 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 中的坐标为 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$，我们自然希望求出其在 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 下的坐标。我们有

$$\begin{array}{rl}\mathbf{\alpha }& =({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\\ & =({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n){\mathbf{P}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\end{array}$$

因此，如果我们记

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)={\mathbf{P}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

那就有

$$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n)$$

因此，$(x_1^{\prime },x_2^{\prime },\cdots ,x_n^{\prime }{)}^{\mathrm{T}}$ 就是 $\mathbf{\alpha }$ 在基 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_n$ 下的新坐标。因此，我们记：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)={\mathbf{P}}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)或\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\mathbf{P}\left(\begin{array}{c}{x}_1^{\prime }\\ x_2^{\prime }\\ ⋮\\ x_n^{\prime }\end{array}\right)$$

该式称为坐标变换公式。