2.2 矩阵的运算

矩阵的线性运算

加减法

设有两个 $m\times n$ 矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$ 和 $\mathbf{B}=(b_{ij})$，定义矩阵的加法：

$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}+b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& \cdots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right)$$

矩阵的加法满足交换律、结合律。

对于矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，定义其负矩阵 $-\mathbf{A}=(-a_{ij})$。显然有 $\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{O}$。

定义矩阵的减法 $\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B})$。

数乘

对于矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij})$，定义数 $\lambda$ 与矩阵 $\mathbf{A}$ 的乘积 $\lambda \mathbf{A}=\mathbf{A}\lambda =(\lambda a_{ij})$。

矩阵的数乘可类比高中的向量数乘。

WARNING

注意不要和行列式搞混：行列式如果要将外面的因数乘进去，只能乘一行 (列)。

矩阵的乘法

矩阵乘法的定义

求矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}4& -1& 2& 1\\ 1& 1& 0& 3\\ 0& 3& 1& 4\end{array}\right)$ 与 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$ 的乘积 $\mathbf{AB}$：

$$\mathbf{AB}=\left(\begin{array}{cccc}4& -1& 2& 1\\ 1& 1& 0& 3\\ 0& 3& 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\\ 3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22}\\ c_{31}& c_{32}\end{array}\right)$$

其中，$c_{ij}$ 的值等于 $(a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{is})$ 与 $\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ b_{2j}\\ ⋮\\ b_{sj}\end{array}\right)$ 对应相乘再相加。

例如，要计算这里的 $c_{11}$，我们取出 $\mathbf{A}$ 的第一行 $(4,-1,2,1)$ 和 $\mathbf{B}$ 的第一列 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 3\\ -1\end{array}\right)$，有

$$c_{11}=4\times 1+(-1)\times 0+2\times 3+1\times (-1)=9$$

计算 $c_{12}$，我们取出 $\mathbf{A}$ 的第一行 $(4,-1,2,1)$ 和 $\mathbf{B}$ 的第二列 $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$，有

$$c_{12}=4\times 2+(-1)\times 1+2\times 0+1\times 2=9$$

以此类推，可以算出这里的 $\mathbf{AB}=\left(\begin{array}{cc}9& 9\\ -2& 9\\ -1& 11\end{array}\right)$。

既然要将 $\mathbf{A}$ 的一行和 $\mathbf{B}$ 的一列对应相乘相加，那 $\mathbf{A}$ 的一行和 $\mathbf{B}$ 的一列的元素数量就必须相等。换言之，$\mathbf{A}$ 的列数和 $\mathbf{B}$ 的行数必须相等。

观察我们刚刚计算的 ${\mathbf{A}}_{3\times 4}{\mathbf{B}}_{4\times 2}$，$\mathbf{A}$ 的列数和 $\mathbf{B}$ 的行数都是 $4$，而且写出来两个 $4$ 在式子的内侧，$3$ 和 $2$ 在式子的外侧，于是我们形象地将 $\mathbf{A}$ 的列数和 $\mathbf{B}$ 的行数（这里的两个 $4$）称为「内标」，将 $\mathbf{A}$ 的列数和 $\mathbf{B}$ 的行数（这里的 $3$ 和 $2$）称为「外标」。

也就是说，矩阵相乘要求内标相等，而乘积矩阵的行数和列数取决于外标：

$${\mathbf{A}}_{m\times s}{\mathbf{B}}_{s\times n}={\mathbf{C}}_{m\times n}$$

也就是说，矩阵的乘法不满足交换律。

现在我们写出矩阵乘法的完整定义：对于矩阵 ${\mathbf{A}}_{m\times s}=(a_{ij})$ 和 ${\mathbf{B}}_{s\times n}=(b_{ij})$，则 $\mathbf{C}=\mathbf{AB}=(c_{ij})$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，且有：

$$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{21}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$$

$\mathbf{AB}$ 可以叫做 $\mathbf{A}$ 左乘 $\mathbf{B}$ 或 $\mathbf{B}$ 右乘 $\mathbf{A}$。

例

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 2\\ -1& 1& 3& 0\\ 0& 5& -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 4\\ 1& 2& 1\\ 3& 1& -1\\ -1& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-5& 6& 7\\ 10& 2& -6\\ -2& 17& 10\end{array}\right)$$

由定义可知，只有方阵可以求幂。

线性方程组与矩阵乘法

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}$$

上面的方程组用矩阵就可以方便地表示为：

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right)$$

也就是

$${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{x}}_{n\times 1}={\mathbf{b}}_{m\times 1}$$

矩阵乘法的性质

不具有交换律

交换可能导致：

• 交换后的式子不合法（内标不相等）
• 交换后乘积矩阵不同型（内标不等于外标）
• 交换后乘积矩阵不相等（方阵）

但是对于两个 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，如果碰巧有 $\mathbf{AB}=\mathbf{BA}$，就说 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 是可交换的。

不具有消去律

$$\begin{array}{rl}\mathbf{AB}=\mathbf{O}& \nRightarrow \mathbf{A}=\mathbf{O}或\mathbf{B}=\mathbf{O}\\ {\mathbf{A}}^2=\mathbf{O}& \nRightarrow \mathbf{A}=\mathbf{O}\\ \begin{array}{r}\mathbf{AB}=\mathbf{AC}\\ \mathbf{A}\ne \mathbf{O}\end{array}\}& \nRightarrow \mathbf{B}=\mathbf{C}\end{array}$$

举几个例子：

$$\begin{gathered} \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\mathbf{AB}=\mathbf{O} \\ \mathbf{C}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right),\mathbf{D}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right),\mathbf{E}=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),\mathbf{CD}=\mathbf{CE}=\mathbf{O} \end{gathered}$$

具有结合律

$$(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})$$

具有分配律

$$\begin{gathered} \mathbf{C}(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\mathbf{CA}+\mathbf{CB} \\ (\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{AC}+\mathbf{BC} \end{gathered}$$

WARNING

运用分配律的时候不能把顺序搞乱！

乘法与行列式

$$|\mathbf{AB}|=|\mathbf{A}|\cdot |\mathbf{B}|$$

特殊矩阵的乘法

任何矩阵左乘或右乘零矩阵 $\mathbf{O}$ 都得 $\mathbf{O}$。

任何方阵左乘或右乘单位矩阵 $\mathbf{E}$ 都得到其本身。

$${\mathbf{A}}_{m\times n}{\mathbf{E}}_{n\times n}={\mathbf{E}}_{m\times m}{\mathbf{A}}_{m\times n}={\mathbf{A}}_{m\times n}$$

对角矩阵 $\mathbf{\Lambda }$ 求幂相当于对其所有元素求幂。

$$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\Rightarrow {\mathbf{\Lambda }}^k=\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$$

元素数量相同的行向量和列向量相乘得到一阶矩阵，也就是一个数。

$$\mathbf{A}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n),\mathbf{B}=(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\mathrm{T}}\Rightarrow \mathbf{AB}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$

WARNING

与「列矩阵乘行矩阵」区分开！

例

设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)$，求 ${\mathbf{A}}^k$。

解 拆分。

设 $\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}(\lambda ,\lambda ,\lambda ),\mathbf{H}=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，则有 $\mathbf{A}=\mathbf{\Lambda }+\mathbf{H}$。且有：

$$\mathbf{\Lambda H}=\lambda \mathbf{EH}=\lambda \mathbf{HE}=\mathbf{H\Lambda }$$

这很重要，因为只有 $\mathbf{\Lambda H}=\mathbf{H\Lambda }$，才能使用二项展开式！

且

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{H}}^2& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ {\mathbf{H}}^3& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=\mathbf{O}\\ \Rightarrow {\mathbf{H}}^n& =\mathbf{O}(n\ge 3)\end{array}$$

故有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^k& =(\mathbf{\Lambda }+\mathbf{H}{)}^k\\ & ={\mathbf{\Lambda }}^k+{\mathrm{C}}_k^1{\mathbf{\Lambda }}^{k-1}\mathbf{H}+{\mathrm{C}}_k^2{\mathbf{\Lambda }}^{k-2}{\mathbf{H}}^2+\cdots (后面都是\mathbf{O})\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^k& 0& 0\\ 0& {\lambda }^k& 0\\ 0& 0& {\lambda }^k\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{ccc}0& {\lambda }^{k-1}& 0\\ 0& 0& {\lambda }^{k-1}\\ 0& 0& 0\end{array}\right)+\frac{k(k-1)}{2}\left(\begin{array}{ccc}0& 0& {\lambda }^{k-2}\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }^k& k{\lambda }^{k-1}& \frac{k(k-1)}{2}{\lambda }^{k-2}\\ 0& {\lambda }^k& k{\lambda }^{k-1}\\ 0& 0& {\lambda }^k\end{array}\right)\end{array}$$

矩阵的转置

类似行列式，我们定义矩阵的转置：

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\end{array}\right)\to {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$$

矩阵转置的性质

$$\begin{array}{rl}({\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}& =\mathbf{A}\\ (\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}& ={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\\ (\lambda \mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}& =\lambda {\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ (\mathbf{AB}{)}^{\mathrm{T}}& ={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ (\mathbf{ABC}{)}^{\mathrm{T}}& ={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

WARNING

注意最后两条，转置前后，相乘的矩阵顺序要对调。（因为转置前后内外标互换）

所以，列矩阵就可以方便地表示为 $\mathbf{B}=(b_1,b_2,\cdots ,b_n{)}^{\mathrm{T}}$。

方阵的行列式

当矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵时，可以取行列式 $|\mathbf{A}|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$。

方阵的行列式的性质：

$$\begin{array}{rl}|{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}|& =|\mathbf{A}|\\ |\lambda \mathbf{A}|& ={\lambda }^n|\mathbf{A}|\\ |\mathbf{AB}|& =|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\\ |\mathbf{ABC}|& =|\mathbf{A}||\mathbf{B}||\mathbf{C}|\end{array}$$

这个概念之前已经提过，这里不再赘述。