1.4 行列式的性质

转置性质

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\to D^{\mathrm{T}}=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

这一变换称为行列式的转置。转置前后，行列式的值不变。原因在上一节中已经提到 —— 行列式的行和列是等价的，这里不再重复证明。

$$D=D^{\mathrm{T}}$$

下列情况行列式值不变：转置、按副对角线反转、旋转 $180\mathrm{°}$。

下列情况行列式变为 $(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}D$：上下翻转、左右翻转、顺（逆）时针旋转 $90\mathrm{°}$。

互换性质

$$\left|\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \cdots & \ast \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & \ast & \cdots & \ast \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \cdots & \ast \\ a_{j1}& a_{j2}& \cdots & a_{jn}\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & \ast & \cdots & \ast \end{array}\right|=0$$

交换行列式的两行 (列)，其值反号。

证明很简单，先看交换两列，如果用按行的定义式，交换两列的元素相当于元素不动但是交换列号。每项的表达式中列号交换导致逆序数奇偶性改变，项的符号改变。每项的符号都改变，最后的值符号当然也改变。

交换两行和交换两列是一样的 —— 行列式的转置性质。

推论

如果一个行列式中有两行 (列) 完全相同，则该行列式的值为 $0$。

因为交换这两行 (列) 反号，但是交换和没交换是同一个行列式，那不就 $D=-D=0$ 了。

倍乘性质

$$k\left|\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \cdots & \ast \\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & \ast & \cdots & \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\ast & \ast & \cdots & \ast \\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & \ast & \cdots & \ast \end{array}\right|$$

行列式某行 (列) 乘 $k$，新行列式的值等于原行列式乘 $k$。

好理解。求和式里每一项都有且只有一个来自这一行 (列) 的元素。所以整行 (列) 乘一个数反映出来就是这个行列式的值乘了这个数。

也就是说，如果整行 (列) 有公因数，可以把它提到外面来。

推论

如果有两行 (列) 成比例，则行列式的值为 $0$。

好理解。把比例系数提出来不就有两行 (列) 相等了嘛。

可拆性质

$$\left|\begin{array}{cccc}\ast & a_{1i}+b_{1i}& \cdots & \ast \\ \ast & a_{2i}+b_{2i}& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & a_{ni}+b_{ni}& \cdots & \ast \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}\ast & a_{1i}& \cdots & \ast \\ \ast & a_{2i}& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & a_{ni}& \cdots & \ast \end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}\ast & b_{1i}& \cdots & \ast \\ \ast & b_{2i}& \cdots & \ast \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \ast & b_{ni}& \cdots & \ast \end{array}\right|$$

行列式某行 (列) 元素均为两个数之和，则行列式可以分解为两个行列式之和。

好理解。求和式里每一项都有且只有一个来自这一行 (列) 的元素。本质就是乘法分配律。

WARNING

一次只能拆一列！因为是乘法分配律，$(a+b)(c+d)\ne ac+bd$。

倍加性质

将行列式的某行 (列) 的 $k$ 倍加到另一行 (列) 上，则行列式的值不变。

相当于加了一个值为零的行列式。

注意！不能加到自己那一行 (列) 上！

应用

例 1

计算二阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}100& 101\\ 102& 103\end{array}\right|$。

解：

$$\left|\begin{array}{cc}100& 101\\ 102& 103\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}100& 101\\ 2& 2\end{array}\right|=2\left|\begin{array}{cc}100& 101\\ 1& 1\end{array}\right|=2(100-101)=-2$$

例 2

（打洞法化主对角）计算四阶行列式 $\left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 2& 0& 1& -1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|$。

解：

$$\begin{array}{rl}& \left|\begin{array}{cccc}3& 1& -1& 2\\ -5& 1& 3& -4\\ 2& 0& 1& -1\\ 1& -5& 3& -3\end{array}\right|\\ \underset{\mathrm{把}1\mathrm{移}\mathrm{到}\mathrm{左}\mathrm{上}\mathrm{角}}{\overset{\mathrm{一}\mathrm{二}\mathrm{列}\mathrm{对}\mathrm{换}}{⟶}}& =-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 1& -5& 3& -4\\ 0& 2& 1& -1\\ -5& 1& 3& -3\end{array}\right|\\ \underset{\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{列}「\mathrm{打}\mathrm{洞}」}{\overset{\mathrm{二}\mathrm{三}\mathrm{四}\mathrm{行}\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{一}\mathrm{行}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{倍}}{⟶}}& =-\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& -8& 4& -6\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 16& -2& 7\end{array}\right|\\ \underset{\mathrm{准}\mathrm{备}\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{列}「\mathrm{打}\mathrm{洞}」}{\overset{\mathrm{三}\mathrm{四}\mathrm{行}\mathrm{对}\mathrm{换}\mathrm{，}\mathrm{把}\mathrm{小}\mathrm{数}\mathrm{字}\mathrm{拉}\mathrm{上}\mathrm{来}}{⟶}}& =\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& -8& 4& -6\\ 0& 16& -2& 7\end{array}\right|\\ \underset{\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{列}「\mathrm{打}\mathrm{洞}」}{\overset{\mathrm{三}\mathrm{四}\mathrm{行}\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{二}\mathrm{行}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{倍}}{⟶}}& =\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 0& 8& -10\\ 0& 0& -10& 15\end{array}\right|\\ \underset{\mathrm{准}\mathrm{备}\mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{列}「\mathrm{打}\mathrm{洞}」}{\overset{\mathrm{三}\mathrm{四}\mathrm{行}\mathrm{对}\mathrm{换}\mathrm{并}\mathrm{提}\mathrm{取}\mathrm{公}\mathrm{因}\mathrm{数}}{⟶}}& =5\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 0& 2& -3\\ 0& 0& 8& -10\end{array}\right|\\ \underset{\mathrm{第}\mathrm{四}\mathrm{列}「\mathrm{打}\mathrm{洞}」}{\overset{\mathrm{第}\mathrm{四}\mathrm{行}\mathrm{减}\mathrm{去}\mathrm{第}\mathrm{三}\mathrm{行}\mathrm{的}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{倍}}{⟶}}& =5\left|\begin{array}{cccc}1& 3& -1& 2\\ 0& 2& 1& -1\\ 0& 0& 2& -3\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right|\\ & =5\times 1\times 2\times 2\times 2=40& \end{array}$$

目标：化为主对角上三角行列式，方便计算。