5.5 二次型及其标准形

二次型

定义含 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 且不含常数的二次齐次多项式。

二次齐次多项式，说得再通俗一点，就是每一项未知数的次数和均为 2 的函数。

其普通形式为：

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = = = a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{nn} x_{n}^{2} + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + 2 a_{13} x_{1} x_{3} + \dots + 2 a_{1 n} x_{1} x_{n} + \dots + 2 a_{n - 1, n} x_{n - 1} x_{n} (i = 1 \sum n a_{1 i} x_{1} x_{i}) + (i = 1 \sum n a_{2 i} x_{2} x_{i}) + \dots + (i = 1 \sum n a_{ni} x_{n} x_{i}) i = 1 \sum n (j = 1 \sum n a_{ij} x_{i} x_{j})

现在，我们考虑，如何用我们之前学的矩阵、向量等线性代数的概念来表达二次型？

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = x^{T} Ax

下面我们来验证这个式子：

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = (i = 1 \sum n a_{i 1} x_{i}, i = 1 \sum n a_{i 2} x_{i}, \dots, i = 1 \sum n a_{in} x_{i},) x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = (i = 1 \sum n a_{i 1} x_{i} x_{1}) + (i = 1 \sum n a_{i 2} x_{i} x_{2}) + \dots + (i = 1 \sum n a_{in} x_{i} x_{n}) = (i = 1 \sum n a_{1 i} x_{1} x_{i}) + (i = 1 \sum n a_{2 i} x_{2} x_{i}) + \dots + (i = 1 \sum n a_{ni} x_{n} x_{i}) = i = 1 \sum n (j = 1 \sum n a_{ij} x_{i} x_{j})

我们可以画一个辅助的表格。把 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 放在行首和列首，将矩阵中的元素放在中间：

x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} x_{1} a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} x_{2} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} x_{3} \dots \dots ⋱ \dots x_{n} a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn}

表中，每一个 $a_{ij}$ 分别乘该行开头的 $x_{i}$ 和该列开头的 $x_{j}$ ，再求和，总计 $n^{2}$ 项。平方项的系数都在主对角线上，其余项的系数在主对角线两边均分。

此后提到二次型的系数矩阵，默认为实对称矩阵，不再额外说明。

例 1

设二次型 $f = x^{2} - 3 z^{2} - 4 x y + y z$ ，试用矩阵记号写出。

画出辅助表格。先考虑平方项：

x y z x 1 y 0 z - 3

对于非平方项的二次项，要把系数除以 $2$ ，然后填入表格对应位置。

x y z x 1 - 2 0 y - 2 0 \frac{1}{2} z 0 \frac{1}{2} - 3

然后把表中写成矩阵就好了

f = (x, y, z) 1 - 2 0 - 2 0 \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} - 3 x y z

例 2

求该二次型的秩：

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

解画出辅助表格：

x_{1} x_{2} x_{3} x_{1} 0 - 1 1 x_{2} - 1 01 x_{3} 110

设二次型矩阵

A = 0 - 1 1 - 1 01 110

看上去像满秩，直接算行列式

A = 0 - 1 1 - 1 01 110 = - 2 - 0 = - 2

所以有 $R (A) = 3$ 。故原二次型的秩也等于 $3$ 。

若二次型只只含有平方项，不包含交叉项，则称为标准二次形（简称标准形）。符号表达为：

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k_{1} x_{1}^{2} + k_{2} x_{2}^{2} + \dots + k_{n} x_{n}^{2}

用前面的辅助表格可以表示为：

x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} x_{1} k_{1} x_{2} k_{2} x_{3} ⋱ x_{n} k_{n}

如果标准形中的系数只取 $1, - 1, 0$ ，则称为规范二次型（简称规范形）。符号表达为：

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = d_{1} x_{1}^{2} + d_{2} x_{2}^{2} + \dots + d_{n} x_{n}^{2} (d_{i} = 1, - 1, 0)

用前面的辅助表格可以表示为：

x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} x_{1} d_{1} x_{2} d_{2} x_{3} ⋱ x_{n} d_{n} (d_{i} = 1, - 1, 0)