5.5 二次型及其标准形

二次型

定义含 $n$ 个变量 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 且不含常数的二次齐次多项式。

二次齐次多项式，说得再通俗一点，就是每一项未知数的次数和均为 2 的函数。

其普通形式为：

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = & a_{11} x_{1}^{2} + a_{22} x_{2}^{2} + \dots + a_{n n} x_{n}^{2} \\ + 2 a_{12} x_{1} x_{2} + 2 a_{13} x_{1} x_{3} + \dots + 2 a_{1 n} x_{1} x_{n} \\ + \dots \\ + 2 a_{n - 1, n} x_{n - 1} x_{n} \\ = & (\sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} x_{1} x_{i}) + (\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} x_{2} x_{i}) + \dots + (\sum_{i = 1}^{n} a_{n i} x_{n} x_{i}) \\ = & \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}) \end{aligned}

现在，我们考虑，如何用我们之前学的矩阵、向量等线性代数的概念来表达二次型？

\begin{aligned} f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) & = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \\ = x^{T} A x \end{aligned}

下面我们来验证这个式子：

\begin{aligned} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) (\begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \\ = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i 1} x_{i}, \sum_{i = 1}^{n} a_{i 2} x_{i}, \dots, \sum_{i = 1}^{n} a_{i n} x_{i},) (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{array}) \\ = (\sum_{i = 1}^{n} a_{i 1} x_{i} x_{1}) + (\sum_{i = 1}^{n} a_{i 2} x_{i} x_{2}) + \dots + (\sum_{i = 1}^{n} a_{i n} x_{i} x_{n}) \\ = (\sum_{i = 1}^{n} a_{1 i} x_{1} x_{i}) + (\sum_{i = 1}^{n} a_{2 i} x_{2} x_{i}) + \dots + (\sum_{i = 1}^{n} a_{n i} x_{n} x_{i}) \\ = \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}) \end{aligned}

我们可以画一个辅助的表格。把 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 放在行首和列首，将矩阵中的元素放在中间：

\begin{array}{ccccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{n} \\ x_{1} & a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ x_{2} & a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n} & a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{array}

表中，每一个 $a_{i j}$ 分别乘该行开头的 $x_{i}$ 和该列开头的 $x_{j}$ ，再求和，总计 $n^{2}$ 项。平方项的系数都在主对角线上，其余项的系数在主对角线两边均分。

此后提到二次型的系数矩阵，默认为实对称矩阵，不再额外说明。

例 1

设二次型 $f = x^{2} - 3 z^{2} - 4 x y + y z$ ，试用矩阵记号写出。

画出辅助表格。先考虑平方项：

\begin{array}{cccc} x & y & z \\ x & 1 \\ y & 0 \\ z & - 3 \end{array}

对于非平方项的二次项，要把系数除以 $2$ ，然后填入表格对应位置。

\begin{array}{cccc} x & y & z \\ x & 1 & - 2 & 0 \\ y & - 2 & 0 & \frac{1}{2} \\ z & 0 & \frac{1}{2} & - 3 \end{array}

然后把表中写成矩阵就好了

f = (x, y, z) (\begin{matrix} 1 & - 2 & 0 \\ - 2 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} & - 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})

例 2

求该二次型的秩：

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{3} + 2 x_{2} x_{3}

解画出辅助表格：

\begin{array}{cccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{1} & 0 & - 1 & 1 \\ x_{2} & - 1 & 0 & 1 \\ x_{3} & 1 & 1 & 0 \end{array}

设二次型矩阵

A = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix})

看上去像满秩，直接算行列式

A = | \begin{matrix} 0 & - 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{matrix} | = - 2 - 0 = - 2

所以有 $R (A) = 3$ 。故原二次型的秩也等于 $3$ 。

若二次型只只含有平方项，不包含交叉项，则称为标准二次形（简称标准形）。符号表达为：

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = k_{1} x_{1}^{2} + k_{2} x_{2}^{2} + \dots + k_{n} x_{n}^{2}

用前面的辅助表格可以表示为：

\begin{array}{ccccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{n} \\ x_{1} & k_{1} \\ x_{2} & k_{2} \\ ⋮ & ⋱ \\ x_{n} & k_{n} \end{array}

如果标准形中的系数只取 $1, - 1, 0$ ，则称为规范二次型（简称规范形）。符号表达为：

\begin{matrix} f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = d_{1} x_{1}^{2} + d_{2} x_{2}^{2} + \dots + d_{n} x_{n}^{2} \\ (d_{i} = 1, - 1, 0) \end{matrix}

用前面的辅助表格可以表示为：

\begin{matrix} \begin{array}{ccccc} x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{n} \\ x_{1} & d_{1} \\ x_{2} & d_{2} \\ ⋮ & ⋱ \\ x_{n} & d_{n} \end{array} \\ (d_{i} = 1, - 1, 0) \end{matrix}