2.1 线性方程组和矩阵

从 1.7 的线性方程组继续出发。我们将其一般化，研究未知数数量和方程数量不一致的情况。设有 $n$ 个未知数 $m$ 个方程的线性方程组：

{\begin{cases} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} = b_{2} \\ \dots \\ a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} = b_{n} \end{cases}

对于线性方程组，我们关注三个问题：

是否有解？
如果有解，解是否唯一？
如果有解，如何求出其所有的解？

行列式的行数和列数必须相等，不够一般。我们由此引入矩阵的概念。

矩阵的定义

定义由 $m n$ 个数 $a_{i j} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, n)$ 排成的 $m$ 行 $n$ 列的数表称为 $m$ 行 $n$ 列矩阵，简称 $m \times n$ 矩阵。记作：

A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

这 $m \times n$ 个元素称为矩阵 $A$ 的元素，简称元。数 $a_{i j}$ 位于矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列，称为矩阵 $A$ 的 $(i, j)$ 元。以数 $a_{i j}$ 为 $(i, j)$ 元的矩阵可记为 $(a_{i j})$ 或 $(a_{i j})_{m \times n}$ 。

$m \times n$ 矩阵 $A$ 也记作 $A_{m \times n}$ 。

两个矩阵行数相等、列数也相等，称二者为同型矩阵。如两个同型矩阵的对应元素均相等，则称这两个矩阵相等。记作 $A = B$ 。

几个特殊矩阵

元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$ 。注意不同型的零矩阵是不同的。

行数和列数都为 $n$ 的矩阵称为 $n$ 阶矩阵或者 $n$ 阶方阵，也记作 $A_{n}$ 。

如果一个方阵中的所有元素关于主对角线对称，即 $A = A^{T}$ ，该矩阵称为对称矩阵：

(\begin{matrix} a & d & e \\ d & b & f \\ e & f & c \end{matrix})

如果一个方阵中主对角线上一侧的元素都为零，该矩阵称为三角矩阵：

(\begin{matrix} a & d & e \\ b & f \\ c \end{matrix})

如果一个方阵中只有主对角线上的元素非零，称为对角矩阵，用 $Λ$ 表示：

Λ = (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & λ_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & λ_{n} \end{matrix})

对角矩阵也记作 $Λ = d i a g (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n})$ 。

当 $λ_{1} = λ_{2} = \dots = λ_{n} = λ$ 时，我们称之为纯量矩阵：

(\begin{matrix} λ \\ λ \\ ⋱ \\ λ \end{matrix})

当 $λ_{1} = λ_{2} = \dots = λ_{n} = 1$ 时，我们称之为单位矩阵，用 $E$ 表示：

E = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix})

只有一行的矩阵 $A = (a_{1} a_{2} \dots a_{n})$ 称为行矩阵，也称行向量，也记作 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 。

只有一列的矩阵称为列矩阵，也称列向量：

B = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix})

2.1 线性方程组和矩阵 ​

矩阵的定义 ​

几个特殊矩阵 ​

2.1 线性方程组和矩阵

矩阵的定义

几个特殊矩阵