5.1 对角化、方阵的特征值与特征向量

对角矩阵的高次幂

在 2.1 线性方程组和矩阵 中我们介绍过对角矩阵的概念：

$$\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\lambda }_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$

我们现在研究对角矩阵的幂。根据矩阵乘法法则，有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{\Lambda }}^2& =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^2& & & \\ & {\lambda }_2^2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n^2\end{array}\right)\\ {\mathbf{\Lambda }}^3& =\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^2& & & \\ & {\lambda }_2^2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\lambda }_1^3& & & \\ & {\lambda }_2^3& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n^3\end{array}\right)\end{array}$$

根据数学归纳法可得，对于

$$\mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)$$

有

$${\mathbf{\Lambda }}^k=\mathrm{diag}({\lambda }_1^k,{\lambda }_2^k,\cdots ,{\lambda }_n^k)$$

可见，对角矩阵的高次幂是很好求的。可是，如果要求其他方阵的高次幂呢？由此我们引入相似对角化的概念。

相似对角化

定义 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，若有可逆矩阵 $P$，使

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$$

则称 $\mathbf{A}$ 是可对角化的，这一操作称为相似对角化。

那这有什么用呢？

例 1

设 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$，$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$，满足 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$，求 ${\mathbf{A}}^n$。

由于

$${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$$

因此有

$$\mathbf{A}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1}$$

则有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{A}}^n& =\underset{n个(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})}{\underbrace{(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})(\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})\cdots (\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{P}}^{-1})}}\\ & =\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^n{\mathbf{P}}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1}^n& 0\\ 0& 3^n\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)}^{-1}\\ & =\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1+3^n& 1-3^n\\ 1-3^n& 1+3^n\end{array}\right)\end{array}$$

因此可对角化的矩阵的高次幂是很好求的。现在的问题变转化为，如何求 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{\Lambda }$？为此我们引入特征值和特征向量的概念。

特征值与特征向量

定义

设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶方阵，如果数 $\lambda$ 和 $n$ 维非零列向量 $\mathbf{x}$ 使得关系式

$$\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}$$

成立，那么这样的数 $\lambda$ 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值，非零向量 $\mathbf{x}$ 称为 $\mathbf{A}$ 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

求解

那么我们如何求解 $\mathbf{x}$ 和 $\lambda$ 呢？将定义式变形：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{Ax}& =\lambda \mathbf{x}\\ \mathbf{Ax}& =\lambda \mathbf{Ex}\\ (\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})\mathbf{x}& =0\end{array}$$

这是一个齐次线性方程组。由于 $\mathbf{x}\ne 0$，因此该方程组一定有无穷多解，因此系数矩阵 $(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E})$ 必定不是满秩的。

在 3.4 中讲满秩 时我们提过，矩阵可逆是矩阵满秩的充要条件。因此该矩阵是不可逆的。根据 2.3 中可逆的判定，该矩阵不可逆意味着其行列式的值为 $0$。所以我们有

$$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0$$

可以看出，对于 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$，$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|$ 是一个 $n$ 次多项式。我们将这个多项式称为方阵 $\mathbf{A}$ 的特征多项式。因此， $|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0$ 是一个 $n$ 次方程，$\lambda$ 有 $n$ 个根（包括实根和虚根，重根按重数计）。该方程称为方阵 $\mathbf{A}$ 的特征方程。

求出 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 之后，将其分别带回，相当于求解齐次线性方程组，可以求出 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2,\cdots ,{\mathbf{x}}_n$ 的通解 $k{\mathbf{\xi }}_1,k{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,k{\mathbf{\xi }}_n$。

$$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=0\to \{\begin{array}{c}{\lambda }_1\to (\mathbf{A}-{\lambda }_1\mathbf{E})\mathbf{x}=0\to {\mathbf{\xi }}_1\\ {\lambda }_2\to (\mathbf{A}-{\lambda }_2\mathbf{E})\mathbf{x}=0\to {\mathbf{\xi }}_2\\ \cdots \\ {\lambda }_n\to (\mathbf{A}-{\lambda }_n\mathbf{E})\mathbf{x}=0\to {\mathbf{\xi }}_n\end{array}$$

NOTE

但是这里好像有几个问题……

这里的 $\lambda$ 是重根的时候怎么办？带回之后，每个方程组的基础解系一定只有一个向量吗？

重根就当一个算。每个方程组的基础解系不一定只有一个向量。这些解均是对应于该特征值的特征向量。

例 2

求矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$ 的特征值与特征向量。

先求特征值：

$$|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & -1\\ -1& 3-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2-1=0$$

解得

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=4$$

再分别求 $\mathbf{A}$ 对应于 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量：

1. ${\lambda }_1=2$ 时，求解

   $$(\mathbf{A}-2\mathbf{E})=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

   因此有 $x_1-x_2=0$，设自由变量 $x_2=k_1$，有

   $$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

2. ${\lambda }_2=4$ 时，求解

   $$(\mathbf{A}-2\mathbf{E})=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& -1\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

   因此有 $x_1+x_2=0$，设自由变量 $x_2=k_2$，有

   $$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$$

因此，$\mathbf{A}$ 的特征值为 $2,4$，

• $k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的对应于特征值 $2$ 的全部特征向量；
• $k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的对应于特征值 $4$ 的全部特征向量。

其中 $k_1,k_2$ 是非零任意常数。

单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的特征值与特征向量

考虑 $n$ 阶单位矩阵 $\mathbf{E}$ 的特征方程：

$$|\mathbf{E}-\lambda \mathbf{E}|=(1-\lambda {)}^n=0$$

得到 ${\lambda }_1=\cdots ={\lambda }_n=1$。将其带回，得到

$$\mathbf{Ox}=0$$

这里 $\mathbf{x}$ 可以是任意 $n$ 维向量，即该方程的解空间为 ${\mathbb{R}}^n$。

要找 $\mathbf{E}$ 的线性无关的特征向量的个数，取 ${\mathbb{R}}^n$ 的任意一个基都满足要求，因此，$\mathbf{E}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

特征值、特征向量与相似对角化的关系

求 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{\Lambda }$

我们把前面特征值与特征向量的定义式再拿出来看：

$$\mathbf{Ax}=\lambda \mathbf{x}$$

由于我们有很多的解 $\mathbf{x}$，实际上线性无关的我们取 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n$，组成一个矩阵。由于矩阵乘法中，右边这个矩阵的列之间是完全不相干的，所以我们可以得到这个式子：

$$\mathbf{A}({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)=({\lambda }_1{\mathbf{\xi }}_1,{\lambda }_2{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\lambda }_n{\mathbf{\xi }}_n)$$

考虑对等好右边的内容变形。右边的这个矩阵可以看作由 $({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)$ 经过 $n$ 次倍乘初等列变换得到的（第一列乘以 ${\lambda }_1$，第二列乘以 ${\lambda }_2$，以此类推）。根据我们在 3.4 中介绍的初等矩阵的知识，可以将其看成 $({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)$ 右乘若干个倍加初等阵得到：

$$\begin{array}{rl}& ({\lambda }_1{\mathbf{\xi }}_1,{\lambda }_2{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\lambda }_n{\mathbf{\xi }}_n)\\ & =({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)\mathrm{diag}({\lambda }_1,1,\cdots ,1)\mathrm{diag}(1,{\lambda }_2,\cdots ,1)\cdots \mathrm{diag}(1,1,\cdots ,{\lambda }_n)\end{array}$$

而在 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,1,\cdots ,1)$ 后面的初等阵又可以看作是对 $\mathrm{diag}({\lambda }_1,1,\cdots ,1)$ 进行的初等列变换，因此我们有

$$\begin{array}{rl}& ({\lambda }_1{\mathbf{\xi }}_1,{\lambda }_2{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\lambda }_n{\mathbf{\xi }}_n)\\ & =({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)\mathrm{diag}({\lambda }_1,1,\cdots ,1)\mathrm{diag}(1,{\lambda }_2,\cdots ,1)\cdots \mathrm{diag}(1,1,\cdots ,{\lambda }_n)\\ & =({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\end{array}$$

已经有感觉了。带回到原来的式子。由于 ${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n$ 是线性无关的，因此组成的向量组是满秩的，因此该矩阵可逆。那两边同时左乘 $({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n{)}^{-1}$：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)& =({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\\ ({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n{)}^{-1}\mathbf{A}({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n)& =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\end{array}$$

这就是我们要求的 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{\Lambda }$，写得再明显一点就是就是：

$$\begin{array}{c}\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n),\\ \mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n)\\ \\ \Rightarrow {\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }\end{array}$$

WARNING

$\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{\Lambda }$ 中的 ${\mathbf{\xi }}_i$ 和 ${\lambda }_i$ 所在的列一定要一一对应。

举例来说，比如

$$\begin{array}{rl}\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_1,& {\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_3),\\ \mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_1,& {\lambda }_2,{\lambda }_3)\end{array}$$

也可以写成

$$\begin{array}{rl}\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_3,& {\mathbf{\xi }}_2,{\mathbf{\xi }}_1),\\ \mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_3,& {\lambda }_2,{\lambda }_1)\end{array}$$

但不能写成

$$\begin{array}{rl}\mathbf{P}=({\mathbf{\xi }}_2,& {\mathbf{\xi }}_3,{\mathbf{\xi }}_1),\\ \mathbf{\Lambda }=\mathrm{diag}({\lambda }_3,& {\lambda }_2,{\lambda }_1)\end{array}$$

所以前面的例子中，

$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$ 的特征值为 $2,4$，

• $k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的对应于特征值 $2$ 的全部特征向量；
• $k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ 是矩阵 $\mathbf{A}$ 的对应于特征值 $4$ 的全部特征向量。

其对角化形式就可以写成：

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{cc}2& \\ & 4\end{array}\right)$$

现在有个自然而然的问题：这些 ${\mathbf{\xi }}_i$，能凑到 $n$ 个吗？

相似对角化的条件

例 3

已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 1\\ 0& 2& 0\\ -4& 1& 3\end{array}\right)$，判断该矩阵能否相似对角化。

先求特征值：

$$\begin{array}{rl}|\mathbf{A}-\lambda \mathbf{E}|& =\left|\begin{array}{ccc}-2-\lambda & 1& 1\\ 0& 2-\lambda & 0\\ -4& 1& 3-\lambda \end{array}\right|\\ & =(2-\lambda )(\lambda -2)(\lambda +1)\\ & =0\end{array}$$

解得 ${\lambda }_1=-1$，${\lambda }_2=2$，${\lambda }_3=2$。

再求特征向量：

1. ${\lambda }_1=-1$，求解 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{x}=0$

   $$\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 0& 3& 0\\ -4& 1& 4\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathbf{x}=k_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

   其中 $k_1$ 为任意常数。得基础解系 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$。

2. ${\lambda }_2={\lambda }_3=2$，求解 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{x}=0$

   $$\left(\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ -4& 1& 1\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccc}-4& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathbf{x}=k_2\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0\end{array}\right)+k_3\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$$

   其中 $k_2,k_3$ 为任意常数。得基础解系 $\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ 0\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 4\end{array}\right)$。

这里的情形和刚才不太一样。有重根，重根带回解出的基础解系有两个向量。直接按列对应写出：

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{ccc}-1& & \\ & 2& \\ & & 2\end{array}\right),\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 4& 0\\ 1& 0& 4\end{array}\right)$$

带到 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$ 中，确实是成立的。因此原矩阵是可以对角化的。

例 4

已知矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 0\\ -4& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$ 的特征值为 $2,1,1$，判断该矩阵能否相似对角化。

求特征向量：

1. ${\lambda }_1=2$，求解 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{x}=0$

   $$\left(\begin{array}{ccc}-3& 1& 0\\ -4& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathbf{x}=k_1\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

   其中 $k_1$ 为任意常数。得基础解系 $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$。

2. ${\lambda }_2={\lambda }_3=1$，求解 $(\mathbf{A}+\mathbf{E})\mathbf{x}=0$

   $$\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ -4& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right){\sim }^r\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\Rightarrow \mathbf{x}=k_2\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$$

   其中 $k_2$ 为任意常数。得基础解系 $\left(\begin{array}{c}-1\\ -2\\ 1\end{array}\right)$。

这时，最后得到的基础解系总共只有两个向量，没有凑齐 3 个，写不出 $\mathbf{P}$。因此该矩阵无法相似对角化。

这里给出 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可对角化的充要条件：$\mathbf{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。