3.4 再谈初等变换与秩

初等变换与矩阵等价

初等变换的概念

我们在 3.1 从方程组到矩阵初等变换中提到过矩阵的初等行变换和初等列变换。

初等行变换：

互换变换：交换两行；
倍乘变换：某一行乘上一个常数 $k$ （ $k \neq 0$ ）；
倍加变换：把某一行的 $k$ 倍加到另一行上去。

初等列变换：

互换变换：交换两列；
倍乘变换：某一列乘上一个常数 $k$ （ $k \neq 0$ ）；
倍加变换：把某一列的 $k$ 倍加到另一列上去。

矩阵等价

矩阵等价的概念

这里给出矩阵等价的概念。

矩阵行等价 $A \overset{r}{\sim} B$ ：矩阵 $A$ 可以经过有限次初等行变换得到矩阵 $B$ 。

矩阵列等价 $A \overset{c}{\sim} B$ ：矩阵 $A$ 可以经过有限次初等列变换得到矩阵 $B$ 。

NOTE

“r” 是 row 的首字母，“c” 是 column 的首字母。

初等行变换也常记作 $A \overset{r}{\to} A^{'}$ ，初等列变换也常记作 $A \overset{c}{\to} A^{'}$ 。

矩阵行等价对应着方程组同解，矩阵列等价对应着向量组等价。有关向量组的内容，我们将在下一章讨论。

矩阵等价 $A \sim B$ ：矩阵 $A$ 可以经过有限次初等变换得到矩阵 $B$ 。

矩阵等价的性质

矩阵等价的判断：

\begin{aligned} A \sim B & \Leftrightarrow {\begin{matrix} A, B 同 型 \\ R (A) = R (B) \end{matrix} \\ A \sim B & \Leftrightarrow {\begin{matrix} P, Q 可 逆 \\ P A Q = B \end{matrix} \end{aligned}

反身性： $A \sim A$

对称性： $A \sim B \Leftrightarrow B \sim A$

传递性： $A \sim B 且 B \sim C \Rightarrow A \sim C$

初等矩阵与初等变换

由单位矩阵 $E$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) \\ 互 换 初 等 阵 \end{matrix} \begin{matrix} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ 倍 乘 初 等 阵 \end{matrix} \begin{matrix} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) \\ 倍 加 初 等 阵 \end{matrix}

口诀 —— 左行右列：

$A$ 左乘一个初等矩阵 $⟺$ $A$ 进行了一次相应的初等行变换；
$A$ 右乘一个初等矩阵 $⟺$ $A$ 进行了一次相应的初等列变换。

来看具体的例子（这里用行变换举例，列变换同理）：

互换变换 —— 互换初等阵

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix})

倍乘变换 —— 倍乘初等阵

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ k a_{21} & k a_{22} & k a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

倍加变换 —— 倍加初等阵

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} + k a_{31} & a_{22} + k a_{32} & a_{23} + k a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix})

初等变换与逆矩阵

初等矩阵的逆

互换初等阵的逆 —— 再换回去变回 $E$ ：

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

倍乘矩阵的逆 —— 再除回去变回 $E$ ：

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

倍加矩阵的逆 —— 再减回去变回 $E$ ：

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

初等行变换求逆

如果矩阵 $A$ 可逆，则存在有限个初等矩阵 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，使得

P_{n} \dots P_{2} P_{1} A = E \Rightarrow {\begin{cases} P_{n} \dots P_{2} P_{1} A = E \\ P_{n} \dots P_{2} P_{1} E = A^{- 1} \end{cases}

所以，如果要求 $A$ 的逆，我们只要把 $A$ 和 $E$ 拼在一起，然后做初等行变换。当把左边那部分变成 $E$ 的时候，右边那部分就是 $A^{- 1}$ 了。

(A, E) \overset{r}{⟶} (E, A^{- 1})

例 1

设 $A = (\begin{matrix} 0 & - 2 & 1 \\ 3 & 0 & - 2 \\ - 2 & 3 & 0 \end{matrix})$ ，证明 $A$ 可逆，并求 $A^{- 1}$ 。

解

\begin{aligned} (A, E) = & (\begin{array}{cccccc} 0 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{cccccc} 3 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 1 & 1 & 0 & 0 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{cccccc} 3 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ - 6 & 9 & 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & - 18 & 9 & 9 & 0 & 0 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{cccccc} 3 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & - 4 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & - 18 & 9 & 9 & 0 & 0 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{cccccc} 3 & 0 & - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & - 4 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{cccccc} 3 & 0 & 0 & 18 & 9 & 12 \\ 0 & 9 & 0 & 36 & 18 & 27 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 6 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 4 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 9 & 4 & 6 \end{array}) \\ = & (E, A^{- 1}) \end{aligned}

因此，有

A^{- 1} = (\begin{matrix} 6 & 3 & 4 \\ 4 & 2 & 3 \\ 9 & 4 & 6 \end{matrix})

例 2

已知 $A$ 可逆，求解矩阵方程 $A X = B$ ，其中

A = (\begin{matrix} 2 & 1 & - 3 \\ 1 & 2 & - 2 \\ - 1 & 3 & 2 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 2 & 0 \\ - 2 & 5 \end{matrix}),

解 $A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$

TIP

回顾一下我们刚才的方法

P_{n} \dots P_{2} P_{1} A = E \Rightarrow {\begin{cases} P_{n} \dots P_{2} P_{1} A = E \\ P_{n} \dots P_{2} P_{1} E = A^{- 1} \end{cases}

我们在第二个式子两边右乘 $B$ ：

{\begin{cases} P_{n} \dots P_{2} P_{1} A = E \\ P_{n} \dots P_{2} P_{1} B = A^{- 1} B \end{cases}

如果要求 $A^{- 1} B$ ，我们只要把 $A$ 和 $B$ 拼在一起，然后做初等行变换：

(A, B) \overset{r}{⟶} (E, A^{- 1} B)

这样就不用先算 $A^{- 1}$ 再去左乘 $B$ 了。Magic!

\begin{aligned} (A, B) = & (\begin{array}{ccccc} 2 & 1 & - 3 & 1 & - 1 \\ 1 & 2 & - 2 & 2 & 0 \\ - 1 & 3 & 2 & - 2 & 5 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & - 3 & 1 & - 3 & - 1 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 5 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & - 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & 2 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & - 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 & 2 \end{array}) \\ = & (E, A^{- 1} B) \end{aligned}

故有

X = A^{- 1} B = (\begin{matrix} - 4 & 2 \\ 0 & 1 \\ - 3 & 2 \end{matrix})

TIP

还有另外一种题型，求的是 $B A^{- 1}$ 。

有两种方法，一种是利用初等列变换：

(\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) \overset{c}{\to} (\begin{matrix} E \\ B A^{- 1} \end{matrix})

但是这样还是比较容易出错。最好的办法是利用转置，倒过来，也就是：

(B A^{- 1})^{T} = (A^{- 1})^{T} B^{T} = (A^{T})^{- 1} B^{T}

这时候我们就可以沿用上面的方法了：

(A^{T}, B^{T}) \overset{r}{⟶} (E, (A^{T})^{- 1} B^{T})

矩阵的秩

秩的概念

秩是反映矩阵本质的不变量。其定义是非零子式的最高阶数。

非零子式的最高阶数是什么东西？

用得很少，这里稍微提一下。

$k$ 阶子式：在矩阵中任取 $k$ 行 $k$ 列，位于行列交叉处的 $k^{2}$ 的元素，不改变相对位置构成的 $k$ 阶行列式。

例如，对于矩阵

B = (\begin{matrix} 2 & - 1 & - 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & - 2 & 1 & 4 \\ 4 & - 6 & 2 & - 2 & 4 \\ 3 & 6 & - 9 & 7 & 9 \end{matrix})

取其 1,2,4 列和 2,3,4 行可构成三阶子式：

| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & - 6 & - 2 \\ 3 & 6 & 7 \end{matrix} |

例 3

设 $A = (\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & λ & - 1 \\ 5 & 6 & 3 & μ \end{matrix})$ ， $R (A) = 2$ ，求 $λ, μ$ 。

解

\begin{aligned} A = & (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 3 & 2 & λ & - 1 \\ 5 & 6 & 3 & μ \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & - 4 & λ + 3 & - 4 \\ 0 & - 4 & 8 & μ - 5 \end{array}) \\ \overset{r}{\sim} & (\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 & 1 \\ 0 & - 4 & λ + 3 & - 4 \\ 0 & 0 & 5 - λ & μ - 1 \end{array}) \end{aligned}

$R (A) = 2$ ，因此有

{\begin{cases} 5 - λ = 0 \\ μ - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow {\begin{cases} λ = 5 \\ μ = 1 \end{cases}

满秩

矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩等于行数（ $R (A) = m$ ），就说矩阵 $A_{n \times n}$ 是行满秩的。
矩阵 $A_{m \times n}$ 的秩等于列数（ $R (A) = n$ ），就说矩阵 $A_{n \times n}$ 是列满秩的。
方阵 $A_{n \times n}$ 的秩等于阶数（ $R (A) = n$ ），就说方阵 $A_{n \times n}$ 是满秩的。

如果方阵 $A$ 可逆，则方阵 $A$ 必然满秩，且有 $A \sim E$ 。

依据： $R (A) = R (E) = n$ ，且二者同型，故必然等价。不仅如此，还有 $A \overset{r}{\sim} B$ ，因为根据我们前面求解方程组的经验，行满秩的增广矩阵的系数矩阵部分一定能通过初等行变换得到单位矩阵。

事实上，矩阵可逆是矩阵满秩的充要条件。

与秩有关的公式总结

转置不改变秩

R (A) = R (A^{T})

依据：由于行列式转置不改变值，因此非零子式的最高阶数在转置前后相等。

NOTE

拓展公式：四秩同堂

R (A) = R (A^{T}) = R (A^{T} A) = R (A A^{T})

考研数学会用到。

秩不大于行数 / 列数

0 \leq R (A_{m \times n}) \leq min {m, n}

依据：秩是非零子式的最高阶数，而从矩阵中能取出的行列式的最大阶数必然不大于行数 / 列数。

可逆变换不改变秩

若 $A \sim B$ ，则 $R (A) = R (B)$ ；
若 $P, Q$ 可逆， $R (P A Q) = R (A)$

第二点的依据：任意可逆矩阵都可以被分解为有限次初等变换。

秩越乘越小，越拼越大，分开加最大

R (A B) \leq \begin{matrix} R (A) \\ R (B) \end{matrix} \leq \begin{matrix} R (A, B) \\ r (\begin{matrix} A \\ B \end{matrix}) \end{matrix} \leq R (A) + R (B)

另外，还有

R (A + B) \leq R (A) + R (B)

矩阵相乘等于零

A_{m \times s} B_{s \times n} = O \Rightarrow R (A) + R (B) \leq s

上面的这些公式很多要等到后面的章节才能给出证明。现在先记下来就好，做题会用到。

3.4 再谈初等变换与秩 ​

初等变换与矩阵等价 ​

初等变换的概念 ​

矩阵等价 ​

矩阵等价的概念 ​

矩阵等价的性质 ​

初等矩阵与初等变换 ​

初等变换与逆矩阵 ​

初等矩阵的逆 ​

初等行变换求逆 ​

矩阵的秩 ​

秩的概念 ​

满秩 ​

与秩有关的公式总结 ​

转置不改变秩 ​

秩不大于行数 / 列数 ​

可逆变换不改变秩 ​

秩越乘越小，越拼越大，分开加最大 ​

矩阵相乘等于零 ​