4.4 向量空间

NOTE

本节考试时基本不涉及，了解即可。

向量空间的概念

向量空间的定义

当 $n\le 3$ 时，$n$ 维向量可以把有向线段作为几何形象，但当 $n>3$ 时 $n$ 维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。

几何中，「空间」通常是作为点的集合，即构成「空间」的元素是点，这样的空间叫做点空间。类似地，我们可以定义向量空间的概念。

定义 设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且对于加法和数乘两种运算封闭，那么就称集合 $V$ 为一个向量空间。

所谓封闭，是指集合 $V$ 中可以进行向量的加法和数乘两种运算，具体地说，就是：若 $\mathbf{a}\in V$，$\mathbf{b}\in V$，则 $\mathbf{a}+\mathbf{b}\in V$；若 $\mathbf{a}\in V$，$\lambda \in \mathbb{R}$，则 $\lambda \mathbf{a}\in V$。

定义 设有向量空间 $V_1,V_2$，若 $V_1\subseteq V_2$，则称 $V_1$ 是 $V_2$ 的子空间。

${\mathbb{R}}^n$ 的概念

任意两个 3 维向量的和仍然是 3 维向量，数 $\lambda$ 乘 3 维向量也仍然是 3 维向量，因此，我们将 3 维向量的全体所组成的集合记为：

$${\mathbb{R}}^3=\left\{\mathbf{r}|\mathbf{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{T}},x,y,z\in \mathbb{R}\right\}$$

在点空间取定坐标系以后，空间中的点 $P(x,y,z)$ 与 3 维向量 $\mathbf{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{T}}$ 之间有一一对应的关系，因此，向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。

由此推广，将 $n$ 维向量的全体组成的集合记为

$${\mathbb{R}}^n=\left\{\mathbf{r}|\mathbf{r}=(a_1,a_2,\cdots ,a_n{)}^{\mathrm{T}},a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{R}\right\}$$

因此，任何有 $n$ 维向量组成的向量空间 $V$，总有 $V\subseteq {\mathbb{R}}^n$，因此 $V$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的子空间。

在讨论向量的运算时。我们把向量看作有向线段；在讨论向量集时，则把向量看作向量 $r$ 起点为原点时，其终点所在的点 $P$（也称 $\mathbf{r}$ 为点 $P$ 的向径）。从而把点 $P$ 的轨迹作为向量集的图形。例如点集：

$$\Pi =\{P(x,y,z)|ax+by+cx=d\}$$

是一个平面（$a,b,c$ 不全为零），于是向量集：

$$\{\mathbf{r}|\mathbf{r}=(x,y,z{)}^{\mathrm{T}},ax+by+cx=d\}$$

也叫做向量空间 ${\mathbb{R}}^3$ 中的平面，并把 $\Pi$ 作为它的图形。

类似地，$n$ 维向量的全体所组成的集合记为：

$${\mathbb{R}}^3=\left\{\mathbf{x}|\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}},x_i\in \mathbb{R}\right\}$$

所以，向量集：

$$\{\mathbf{x}|\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}},a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=d\}$$

便是向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 中的 $n-1$ 维的超平面。

向量组与向量空间

向量组生成的向量空间

设 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为两个已知的 $n$ 维向量，考虑集合

$$V=\{\lambda \mathbf{a}+\mu \mathbf{b}|\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\}$$

对于集合 $V$ 中的向量 ${\mathbf{x}}_1={\lambda }_1\mathbf{a}+{\mu }_1\mathbf{b}$ 和 ${\mathbf{x}}_2={\lambda }_2\mathbf{a}+{\mu }_2\mathbf{b}$，总有

$$\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2=({\lambda }_1+{\lambda }_2)\mathbf{a}+({\mu }_1+{\mu }_2)\mathbf{b}\in V\\ k{\mathbf{x}}_1=(k{\lambda }_1)\mathbf{a}+(k{\lambda }_2)\mathbf{b}\in V\end{array}$$

因此集合 $V$ 是一个向量空间。这个向量空间称为由向量 $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ 生成的向量空间，记作：

$$V=\mathrm{Span}\{\mathbf{a},\mathbf{b}\}$$

一般地，由向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$ 所生成的向量空间为

$$\begin{array}{rl}L& =\mathrm{Span}\{{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m\}\\ & =\{{\lambda }_1{\mathbf{a}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +{\lambda }_n{\mathbf{a}}_n|{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_m\in \mathbb{R}\}\end{array}$$

向量空间与向量组等价

设向量组 $A:{\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_m$ 和 $B:{\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_s$ 等价，记

$$\begin{array}{c}{L}_1=\mathrm{Span}\{A\}\\ L_2=\mathrm{Span}\{B\}\end{array}$$

设 $x\in L_1$，则 $\mathbf{x}$ 可由向量组 $A$ 线性表示。又因 $A$ 可由 $B$ 线性表示，所以 $\mathbf{x}\in L_2$，因此 $L_1\subseteq L_2$。同理可证，$L_2\subseteq L_1$，所以 $L_1=L_2$。

因此，有：

若向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价，则有

$$\mathrm{Span}\{A\}=\mathrm{Span}\{B\}$$

向量空间的基

基与维数

设 $V$ 为向量空间，如果 $r$ 个向量 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r\in V$，且满足

1. ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 线性无关
2. $V$ 中的任意向量都可有 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 线性表示

则向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r\in V$ 称为向量空间的一个基，$r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 为 $r$ 维向量空间，记作 $\dim V=r$。

特别地，如果向量空间 $V$ 没有基，那么 $V$ 的维数为 $0$。$0$ 维向量空间只含一个零向量 $0$。

若把向量空间 $V$ 看作向量组，则由最大无关组的等价定义可知，$V$ 的基就是向量组的最大无关组，$V$ 的维数就是向量组的秩。

坐标

定义 如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$，那么 $V$ 中的任意向量 $\mathbf{x}$ 可唯一地表示为

$$\mathbf{x}={\lambda }_1{\mathbf{a}}_1+{\lambda }_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +{\lambda }_r{\mathbf{a}}_r$$

这个有序数组 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$ 称为向量 $\mathbf{x}$ 在基 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 下的坐标，记作 $({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r{)}^{\mathrm{T}}$。

特别地，在 ${\mathbb{R}}^n$ 中取单位坐标向量组 ${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 为基，则向量在该基下的坐标就是该向量的分量，${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$ 称为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的自然基。

向量空间与方程组的解

根据 上一节 中对齐次线性方程组的讨论，我们有：

• 齐次线性方程组的解可以组成一个向量空间，称为解空间；
• 齐次线性方程组的的基础解系是其解空间的基。