4.2 向量组的线性相关性

向量组的相关与无关

定义 给定向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，若存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得

$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

则称向量组是线性相关的。

给定向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$，当且仅当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$，才有

$$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

则称向量组是线性无关（或线性独立）的。

TIP

等号右边的 $0$ 是零向量，不是零矩阵 $\mathbf{O}$，也不是数字 $0$。

用更容易理解的说法就是：向量组线性相关，指的是向量组内部至少存在一个向量，可以用其余向量线性表示。也就是说，线性相关指的就是向量组中存在「多余」向量，因此其中的独立向量的数量一定小于向量的总数：

$$R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)<m$$

向量组线性无关，指的就是内部任何一个向量都不可以用其余向量线性表示，也就是这些向量全都是独立向量，不包含「多余」向量。因此其中的独立向量的数量一定等于向量的总数：

$$R({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m)=m$$

使用秩来判断相关无关是等价判断，即有

• 向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关 $⟺$ $R(\mathbf{A})<m$；
• 向量组 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性无关 $⟺$ $R(\mathbf{A})=m$。

WARNING

特别地，包含零向量的向量组一定是线性相关的。

根据根据定义，求和式中零向量前的系数可以是任意实数，因此总存在不全为零的一组实数使得求和式等于零向量成立。

例 1

已知向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，${\mathbf{b}}_1={\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$，${\mathbf{b}}_2={\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3$，${\mathbf{b}}_3={\mathbf{\alpha }}_3+{\mathbf{\alpha }}_1$，试证明向量组 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3$ 线性无关。

解：设有 $x_1,x_2,x_3$，使得 $x_1{\mathbf{b}}_1,x_2{\mathbf{b}}_2,x_3{\mathbf{b}}_3=0$，故有：

$$\begin{array}{rl}{x}_1({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)+x_2({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)+x_3({\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_3)& =0\\ (x_1+x_3){\mathbf{\alpha }}_1+(x_1+x_3){\mathbf{\alpha }}_1+(x_1+x_3){\mathbf{\alpha }}_1& =0\end{array}$$

由于向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性无关，故有

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=0\\ x_1+x_2=0\\ x_2+x_3=0\end{array}$$

注意到这是一个齐次线性方程组，其系数矩阵

$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=2\ne 0$$

故其只有零解，即 $x_1=x_2=x_3=0$。因此，当且仅当 $x_1=x_2=x_3=0$ 时有 $x_1{\mathbf{b}}_1,x_2{\mathbf{b}}_2,x_3{\mathbf{b}}_3=0$，故向量组 ${\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,{\mathbf{b}}_3$ 线性无关。证毕。

相关无关的推论

• 设 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m$ 相关 $⟹$

  • 本身相关，增加相关：任意增加几个同维向量，得到的新向量组一定相关；

• 设 $A:{\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m$ 无关 $⟹$

  • 整体无关，部分无关：从中任意选取几个向量，得到的新向量组一定无关；

  • 若 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{\beta }$ 仍无关，则 $\mathbf{\beta }$ 不能由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示；

  • 若 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m,\mathbf{\beta }$ 相关，则 $\mathbf{\beta }$ 能由 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m$ 线性表示，且表示方式唯一；

    从秩的角度看，向量组 $A$ 线性无关，则 $R(\mathbf{A})=m$；加上 $\mathbf{\beta }$ 之后相关，则 $R(\mathbf{A},\mathbf{\beta })<m+1$。又因为矩阵的秩越拼越大，故有 $m\le R(\mathbf{A},\mathbf{\beta })<m+1$，因此 $R(\mathbf{A})=R(\mathbf{A},\mathbf{\beta })=m$。

    再从方程组的角度看，将 $\mathbf{A}$ 看作系数矩阵，将 $(\mathbf{A},\mathbf{\beta })$ 看做增广矩阵。系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，因此该方程组有唯一解。因此表示方式是唯一的。

• 设 $n$ 维向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,\cdots {\mathbf{\alpha }}_m$，若 $m>n$ 时，必定线性相关。

  也就是说，个数 > 维数，必相关。

  从矩阵的角度看，矩阵的秩既不大于行数（向量维数），又不大于列数（向量个数），因此有：秩 ≤ 向量维数 < 向量个数。

  从几何的角度看，这句话就是在说：$n$ 维的空间中，最多只能定义 $n$ 个独立基底。定义这 $n$ 个独立基底之后，这个空间内的所有向量都可以由这 $n$ 个基底表示。

例 2

已知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性相关，向量组 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性无关，证明：

1. ${\mathbf{\alpha }}_1$ 能由 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示；
2. ${\mathbf{\alpha }}_4$ 不能由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示。

证明：

1. $$\begin{array}{r}{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4无关\Rightarrow {\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3无关\\ {\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3相关\end{array}\}\Rightarrow {\mathbf{\alpha }}_1可被{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3表示$$

2. 假设 ${\mathbf{\alpha }}_4$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示。

   又有 ${\mathbf{\alpha }}_1$ 能由 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示，故 ${\mathbf{\alpha }}_4$ 可由 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示，则向量组 ${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3,{\mathbf{\alpha }}_4$ 线性相关。这与已知矛盾，故假设不成立，${\mathbf{\alpha }}_4$ 不能由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$ 线性表示。证毕。

极大线性无关组

定义

定义 若向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 内存在一个部分组，且满足

1. 该部分组线性无关；
2. 原向量组中的任一向量都能由该部分组线性表示

则称该部分组是原向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组，也称最大线性无关组、最大无关组。

根据定义易知，一个向量组与其极大线性无关组可以互相表示，因此二者是等价的。

极大线性无关组其实就是我们一直在提的独立向量，所以极大线性无关组中向量的个数就等于向量组的秩。从几何的角度理解，极大线性无关组实际上是这个向量组的一组基底，其他的向量都可以由这组基底线性表示。

极大线性无关组可能不唯一，但是极大线性无关组中的向量个数一定是不变的。

NOTE

这里也给出极大线性无关组的第二定义。

若向量组 $A$ 内存在一个部分组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 且满足

1. 该部分组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 线性无关；
2. 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果存在的话）都线性相关

则称该部分组是原向量组的一个极大线性无关组。

此定义与前面给出的定义等价。

求法

首先需要明确：初等行变换不改变列向量之间的线性关系。

如何理解这一点？考虑一个方程组：

$$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\alpha }}_m=0$$

那么 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 必然反映了这些向量之间的关系。

将其展开：

$$\begin{array}{c}{x}_1\left(\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right)+\cdots +x_m\left(\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ a_{2m}\\ ⋮\\ a_{nm}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\\ \\ {⟶}^r{x}_1\left(\begin{array}{c}简\\ 单\\ 向\\ 量\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}简\\ 单\\ 向\\ 量\end{array}\right)+\cdots +x_m\left(\begin{array}{c}简\\ 单\\ 向\\ 量\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$

取这个方程组的矩阵，进行初等行变换，由于初等行变换是同解变换，因此这里的 $x_i$ 是不会改变的。换言之，尽管向量改变了，向量之间的线性关系是不变的。

我们用一个实际一些的问题来分析。设矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& -1& 1& 2\\ 1& 1& -2& 1& 4\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right)$$

假设我们要求矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。

将其化为行最简形矩阵。设原矩阵的第 $i$ 列分别为向量 ${\mathbf{\alpha }}_i$，变换后的第 $i$ 列分别为向量 ${\mathbf{\beta }}_i$：

$$\mathbf{A}={\left(\begin{array}{ccccc}2& -1& -1& 1& 2\\ 1& 1& -2& 1& 4\\ 4& -6& 2& -2& 4\\ 3& 6& -9& 7& 9\end{array}\right)}^{\begin{array}{ccccc}{\mathbf{\alpha }}_1& {\mathbf{\alpha }}_2& {\mathbf{\alpha }}_3& {\mathbf{\alpha }}_4& {\mathbf{\alpha }}_5\end{array}}{\sim }^r{\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 4\\ 0& 1& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)}^{\begin{array}{ccccc}{\mathbf{\beta }}_1& {\mathbf{\beta }}_2& {\mathbf{\beta }}_3& {\mathbf{\beta }}_4& {\mathbf{\beta }}_5\end{array}}$$

考虑主元所在的列 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_4$。

行最简形矩阵中，主元所在的列除了主元之外都是 $0$，因此主元所在的列组成的向量组一定是线性无关的，即本例中 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_4)$ 是线性无关的。

而且，对于没有主元的列，其中的每个非零元素都有与之对应的主元，也就是说可以通过主元所在的列的线性变换表示。例如本例中，${\mathbf{\beta }}_5$ 中的三个元素 $4$、$3$、$-3$ 分别有 ${\mathbf{\beta }}_1$、${\mathbf{\beta }}_2$、${\mathbf{\beta }}_4$ 与之对应，因此可以写出 ${\mathbf{\beta }}_5=4{\mathbf{\beta }}_1+3{\mathbf{\beta }}_2-3{\mathbf{\beta }}_4$。

由此，我们注意到：

• 主元所在的列组成的向量组是线性无关的；
• 除了主元所在的列之外的向量，都可以通过主元所在的列的线性变换表示。

也就是说，主元所在的列满足了极大线性无关组所需的要求，因此，主元所在的列组成的向量组就是该向量组的极大线性无关组。即本例中 $({\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3)$ 是该矩阵的极大线性无关组。

根据初等行变换的同解性，$({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3)$ 便是原向量组 $A$ 的极大线性无关组。

我们可以写出：

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_3=-{\mathbf{\beta }}_1-{\mathbf{\beta }}_2\\ {\mathbf{\beta }}_5=4{\mathbf{\beta }}_1+3{\mathbf{\beta }}_2-3{\mathbf{\beta }}_4\end{array}$$

根据初等行变换的同解性，我们有

$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\alpha }}_3=-{\mathbf{\alpha }}_1-{\mathbf{\alpha }}_2\\ {\mathbf{\alpha }}_5=4{\mathbf{\alpha }}_1+3{\mathbf{\alpha }}_2-3{\mathbf{\alpha }}_4\end{array}$$

如此，不属于极大无关组的列向量便用极大无关组线性表示出来了。