6.2 维数、基与坐标

在 4.4 向量空间 中我们已经提过了基与维数的概念。现将其推广到一般的线性空间。

定义 在线性空间 $V$ 中，如果存在 $n$ 个向量 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 满足

1. ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性无关；
2. $V$ 中的任意向量 $\mathbf{\alpha }$ 总可由 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表示

那么 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 就称为线性空间 $V$ 的一个基，$n$ 称为线性空间 $V$ 的维数。特别地，只含一个零向量的线性空间没有基，规定其维数为 $0$。

维数为 $n$ 的线性空间称为 $n$ 维线性空间，记作 $V_n$，也可记作 $\dim V=n$。

NOTE

线性空间的维数可以是无穷。这里不讨论。

对于 $n$ 维线性空间 $V_n$，若知 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $V_n$ 的一个基，则 $V_n$ 可表示为

$$V_n=\mathrm{Span}\{{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n\}$$

即 $V_n$ 是基所生成的线性空间。

若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 为 $V_n$ 的一个基，则对于任何 $\mathbf{\alpha }\in V_n$ 都有唯一的一组有序数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 使得

$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$$

反之，任给一组有序数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，总有唯一的向量

$$\mathbf{\alpha }=x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +x_n{\alpha }_n$$

这样 $V_n$ 的向量 $\mathbf{\alpha }$ 与有序数组 $(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 之间存在着一一对应的关系，因此可以用这组有序数来表示向量 $\mathbf{\alpha }$。

于是我们定义 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 这组有序数称为向量 $\mathbf{\alpha }$ 在 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 这个基上的坐标，并记作

$$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$$

这样即可把抽象的向量化为具体的有序数进行研究。

一般地，设 $V$ 与 $U$ 是两个线性空间，如果在它们的向量之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间 $V$ 与 $U$ 同构。

显然，任何 $n$ 维线性空间都与 ${\mathbb{R}}^n$ 同构，即维数相等的线性空间都同构。从而可知线性空间的结构完全被它的维数所决定。