6.4 线性变换及其矩阵表示

线性变换的概念

定义设 $V_{n}$ ， $U_{m}$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间， $T$ 是一个从 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的映射，如果 $T$ 满足：

那么 $T$ 就称为从 $V_{n}$ 到 $U_{m}$ 的线性映射。

特别地，如果 $U_{m} = V_{n}$ ，那么 $T$ 称为线性空间 $V_{n}$ 中的线性变换。

$T 0 = 0, T (- α) = - T α$ 。
若 $β = k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{n} α_{n}$ ，则
$T β = k_{1} T α_{1} + k_{2} T α_{2} + \dots + k_{n} T α_{n}$
若 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 线性相关，则 $T α_{1}, \dots, T α_{n}$ 线性相关。
线性变换 $T$ 的像集 $T (V_{n})$ 是一个线性空间，称为 $T$ 的像空间。
使得 $T α = 0$ 的全体
$N_{T} = {α ∣ α \in V_{n}, T α = 0}$
也是一个线性空间。 $N_{T}$ 称为线性变换 $T$ 的核。

WARNING

注意性质 3 的逆命题是不成立的，即若 $α_{1}, \dots, α_{n}$ 线性无关，则 $T α_{1}, \dots, T α_{n}$ 不一定线性无关。这是因为线性变换可能损失维数，将线性无关的向量「压缩」到低维度。

设有 $n$ 阶矩阵 $A$ ，则可定义 $R^{n}$ 中的线性变换

T (x) = Ax

$T$ 的像空间就是 $A$ 的列向量所生成的向量空间 $Span {A}$ ， $T$ 的核 $N_{T}$ 就是齐次线性方程组 $Ax = 0$ 的解空间。

那任意的线性变换都能用矩阵来表示吗？取 $V_{n}$ 单位正交基

e_{1} = 10 ⋮ 0, e_{2} = 01 ⋮ 0, \dots, e_{n} = 00 ⋮ 1

则对于向量 $α = (x_{1}, \dots, x_{n})^{T}$ 有

α = (e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n}) x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}

根据线性变换的性质 2，有

T (α) = (T e_{1}, T e_{2}, \dots, T e_{n}) x_{1} x_{2} ⋮ x_{n} = (T e_{1}, T e_{2}, \dots, T e_{n}) α

因此，我们找到了任意线性变换 $T$ 对应的矩阵 $(T e_{1}, T e_{2}, \dots, T e_{n})$ 。

也就是说，任意的线性变换都能用矩阵来表示。