6.4 线性变换及其矩阵表示

线性变换的概念

定义 设 $V_n$，$U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，$T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果 $T$ 满足：

• $\mathrm{\forall }{\mathit{\alpha }}_1,{\mathit{\alpha }}_2\in V_n$，有

  $$T({\mathit{\alpha }}_1+{\mathit{\alpha }}_2)=T({\mathit{\alpha }}_1)+T({\mathit{\alpha }}_2)$$

• $\mathrm{\forall }\mathit{\alpha }\in V_n,\lambda \in \mathbb{R}$，有

  $$T(\lambda \mathit{\alpha })=\lambda T(\mathit{\alpha })$$

那么 $T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的线性映射。

特别地，如果 $U_m=V_n$，那么 $T$ 称为线性空间 $V_n$ 中的线性变换。

线性变换的性质

1. $T\mathbf{0}=\mathbf{0},T(-\mathit{\alpha })=-T\mathit{\alpha }$。

2. 若 $\mathit{\beta }=k_1{\mathit{\alpha }}_1+k_2{\mathit{\alpha }}_2+\cdots +k_n{\mathit{\alpha }}_n$，则

   $$T\mathit{\beta }=k_{1}T{\mathit{\alpha }}_1+k_{2}T{\mathit{\alpha }}_2+\cdots +k_{n}T{\mathit{\alpha }}_n$$

3. 若 ${\mathit{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n$ 线性相关，则 $T{\mathit{\alpha }}_1,\cdots ,T{\mathit{\alpha }}_n$ 线性相关。

4. 线性变换 $T$ 的像集 $T(V_n)$ 是一个线性空间，称为 $T$ 的像空间。

5. 使得 $T\mathit{\alpha }=\mathbf{0}$ 的全体

   $$N_T=\{\mathit{\alpha }|\mathit{\alpha }\in V_n,T\mathit{\alpha }=\mathbf{0}\}$$

   也是一个线性空间。$N_T$ 称为线性变换 $T$ 的核。

WARNING

注意性质 3 的逆命题是不成立的，即若 ${\mathit{\alpha }}_1,\cdots ,{\mathit{\alpha }}_n$ 线性无关，则 $T{\mathit{\alpha }}_1,\cdots ,T{\mathit{\alpha }}_n$ 不一定线性无关。这是因为线性变换可能损失维数，将线性无关的向量「压缩」到低维度。

线性变换的矩阵表示

设有 $n$ 阶矩阵 $\mathit{A}$，则可定义 ${\mathbb{R}}^n$ 中的线性变换

$$T(\mathit{x})=\mathit{A}\mathit{x}$$

$T$ 的像空间就是 $\mathit{A}$ 的列向量所生成的向量空间 $\mathrm{Span}\{\mathit{A}\}$，$T$ 的核 $N_T$ 就是齐次线性方程组 $\mathit{A}\mathit{x}=\mathbf{0}$ 的解空间。

那任意的线性变换都能用矩阵来表示吗？取 $V_n$ 单位正交基

$${\mathit{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),{\mathit{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right),\cdots ,{\mathit{e}}_n=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right)$$

则对于向量 $\mathit{\alpha }=(x_1,\cdots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}$ 有

$$\mathit{\alpha }=({\mathit{e}}_1,{\mathit{e}}_2,\cdots ,{\mathit{e}}_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

根据线性变换的性质 2，有

$$\begin{array}{rl}T(\mathit{\alpha })& =(T{\mathit{e}}_1,T{\mathit{e}}_2,\cdots ,T{\mathit{e}}_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\\ & =(T{\mathit{e}}_1,T{\mathit{e}}_2,\cdots ,T{\mathit{e}}_n)\mathit{\alpha }\end{array}$$

因此，我们找到了任意线性变换 $T$ 对应的矩阵 $(T{\mathit{e}}_1,T{\mathit{e}}_2,\cdots ,T{\mathit{e}}_n)$。

也就是说，任意的线性变换都能用矩阵来表示。