3.1 从方程组到矩阵初等变换

1.7 克拉默法则（一）、2.6 克拉默法则（二）中我们比较详细地通过行列式和矩阵两个工具讨论了 $n$ 元线性方程组的解的情况。

但是，克拉默法则求解线性方程组有一个限制：线性方程组未知数的数量必须等于方程的数量，这样系数矩阵才是方阵，系数行列式才能存在。

另外，就算未知数的数量必须等于方程的数量，如果系数行列式 $∣ A ∣ = 0$ ，我们只知道有无穷多解或无解，无法得到具体是哪一种情况，也无法求出这无穷多解的通解。

从方程组解的情况谈起

不妨利用几何直观来判断方程组解的情况。

对于二元方程组，我们可以通过将方程绘制为平面上的直线来判断。图中，所有直线的公共点代表即所有方程的公共解，公共点有几个，解就有几个。

二元线性方程组解的情况

容易得到，只有唯一解、无解、无穷多解三种情况。

对于三元方程组，我们可以将将方程绘制为空间中的平面。

三元线性方程组解的情况

同样的道理，左上第一张图有一个公共点，有唯一解。上面一行的右边三张图都有无穷多个公共点，因此有无穷多解。下面一行的四张图中，找不到同时在三个面上的点，因此无解。

NOTE

能不能有有穷且不唯一的解？

结论：不行。这是由「线性」的特性决定的。

我们用三元来举例子。假设对于某个三元线性方程组，我们找到了两个解，那么这两个解在空间中对应两个点，这两个点同时在所有平面上。对于每个平面来说，这两个点在平面上，则经过这两个点的直线也一定在这个平面上。那么，这两个点连成的直线就必然在所有平面上，换言之，这条直线上的每个点都对应原方程组的一个解。因此原方程组必有无穷多个解。

这个结论对于四元、五元到 $n$ 元都有效。从更本质的角度讲，线性系统有两大特性：叠加性和齐次性。

x (t) \to y (t) x_{1} (t) \to y_{1} (t) x_{2} (t) \to y_{2} (t)} ⟹ k x (t) \to k y (t) ⟹ a x_{1} (t) + b x_{2} (t) \to a y_{1} (t) + b y_{2} (t)

因此，当有两个解 $v, u$ 后我们就可以构造 $0.9 v + 0.1 u, 0.8 v + 0.2 u, 0.7 v + 0.3 u$ 等无穷多个解。

高斯消元法与初等行变换

这是一个很高大上的名字。人话就是小学的加减消元法。

{4 x + 2 y = 94 x + y = 35 \to {x + y = 35 4 x + 2 y = 94 \to {x + y = 35 2 x + y = 47 \to {x + y = 35 - y = - 23 \to {x = 12 y = 23

这里的操作无非就是方程之间交换位置、方程两边同乘非零数、方程之间相加减。

总结一下，就是

互换变换：两个方程之间互换位置；
倍乘变换：某个方程乘一个非零常数 $k$ ；
倍加变换：把某个方程的倍数加到另一个方程上。

这三个变换称为同解变换，因为这样的操作不会让方程组的解改变。

我们可以用矩阵来描述这个过程：

(41219435) \to (14123594) \to (12113547) \to (1 1 - 1 35 - 23) \to (111223)

这时，这三个操作变成了：

互换变换：交换两行的位置；
倍乘变换：某一行乘一个非零常数 $k$ ；
倍加变换：把某一行的 $k$ 倍加到另一个行上。

这三个针对行的操作称为初等行变换。

WARNING

注意区分矩阵的初等变换和行列式的变换！

行列式的两行交换时，行列式反号。

行列式的某一行乘上一个常数 $k$ ，等价于这个行列式的值乘上这个常数 $k$ 。

NOTE

有没有初等列变换？有，但这不是同解变换。

取刚刚矩阵变换过程的倒数第二个，进行初等列变换。

(1 1 - 1 35 - 23) \to (1 0 - 1 35 - 23) \Rightarrow {x = 35 y = - 23

这时的解与刚刚我们求出来的不同。因此，初等列变换会改变解，我们不展开讨论。

用矩阵求解方程组

回忆一下之前行列式变换的技巧：

$D = a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} \to p_{11} p_{12} p_{22} \dots \dots ⋱ p_{1 n} p_{2 n} ⋮ p_{nn} \to p_{11} p_{22} ⋱ p_{nn}$
先找到 $a_{11}$ ，用第一行的 $k_{i}$ 倍分别减去下面几行，使得第一行除了 $a_{11}$ 之外都是 $0$ ；然后在第二列重复这样的操作，然后是第三列…… 直到化为上三角行列式。
然后最后一行的最后一个元素 $p_{nn}$ 减去上面几行，使得上面几行的最后一个元素都为零；然后在倒数第二列重复这样的操作，然后是倒数第三列…… 直到化为主对角型行列式。

对于矩阵，我们只需要做类似的操作：

a_{11} a_{21} ⋮ a_{n 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{n 2} \dots \dots ⋱ \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{nn} b_{1} b_{2} ⋮ b_{n} \to c_{11} c_{12} c_{22} \dots \dots ⋱ c_{1 n} c_{2 n} ⋮ c_{nn} d_{1} d_{2} ⋮ d_{n} \to 101 \dots \dots ⋱ 00 ⋮ 1 p_{1} p_{2} ⋮ p_{n}

最右边的矩阵就相当于方程组 $⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = p_{1} x_{2} = p_{2} \dots x_{n} = p_{m}$ ，已经解出来了。

现在，我们研究我们化出来的这两个矩阵。

行阶梯形矩阵

从一般的矩阵「自上而下」操作得到，类似「上三角行列式」的矩阵。

c_{11} c_{12} c_{22} \dots \dots ⋱ c_{1 n} c_{2 n} ⋮ c_{nn} d_{1} d_{2} ⋮ d_{n}

特点：

若有零行，零行都在最下方；
非零行的第一个不为零的元素称为主元，并且下一行主元的列标必然增加。

行最简形矩阵

从行阶梯形矩阵「自下而上」操作得到。

101 \dots \dots ⋱ 00 ⋮ 1 p_{1} p_{2} ⋮ p_{n}

特点：

是行阶梯形矩阵；
每个非零行的主元全部是 $1$ ；
每个主元所在的列的其余元素全部为零。

例

100 - 1 00 110 1 - 1 0 \to 100 - 1 00 010 2 - 1 0 300 - 1 00 210 1 - 1 0 \to 100 - \frac{1}{3} 00 010 1 - 1 0

行最简形矩阵对应着最简的方程组，每个方程左边都只有一个未知数，右边只有一个常数。

所以，我们解方程的目标就是把增广矩阵化成行最简形矩阵。

3.1 从方程组到矩阵初等变换 ​

从方程组解的情况谈起 ​

高斯消元法与初等行变换 ​

用矩阵求解方程组 ​

行阶梯形矩阵 ​