3.1 从方程组到矩阵初等变换

1.7 克拉默法则（一）、2.6 克拉默法则（二） 中我们比较详细地通过行列式和矩阵两个工具讨论了 $n$ 元线性方程组的解的情况。

但是，克拉默法则求解线性方程组有一个限制：线性方程组未知数的数量必须等于方程的数量，这样系数矩阵才是方阵，系数行列式才能存在。

另外，就算未知数的数量必须等于方程的数量，如果系数行列式 $|\mathit{A}|=0$，我们只知道有无穷多解或无解，无法得到具体是哪一种情况，也无法求出这无穷多解的通解。

从方程组解的情况谈起

不妨利用几何直观来判断方程组解的情况。

对于二元方程组，我们可以通过将方程绘制为平面上的直线来判断。图中，所有直线的公共点代表即所有方程的公共解，公共点有几个，解就有几个。

容易得到，只有唯一解、无解、无穷多解三种情况。

对于三元方程组，我们可以将将方程绘制为空间中的平面。

同样的道理，左上第一张图有一个公共点，有唯一解。上面一行的右边三张图都有无穷多个公共点，因此有无穷多解。下面一行的四张图中，找不到同时在三个面上的点，因此无解。

NOTE

能不能有有穷且不唯一的解？

结论：不行。这是由「线性」的特性决定的。

我们用三元来举例子。假设对于某个三元线性方程组，我们找到了两个解，那么这两个解在空间中对应两个点，这两个点同时在所有平面上。对于每个平面来说，这两个点在平面上，则经过这两个点的直线也一定在这个平面上。那么，这两个点连成的直线就必然在所有平面上，换言之，这条直线上的每个点都对应原方程组的一个解。因此原方程组必有无穷多个解。

这个结论对于四元、五元到 $n$ 元都有效。从更本质的角度讲，线性系统有两大特性：叠加性和齐次性。

$$\begin{array}{rl}x(t)\to y(t)& ⟹kx(t)\to ky(t)\\ \begin{array}{c}{x}_1(t)\to y_1(t)\\ x_2(t)\to y_2(t)\end{array}\}& ⟹a{x}_1(t)+b{x}_2(t)\to a{y}_1(t)+b{y}_2(t)\end{array}$$

因此，当有两个解 $\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}$ 后我们就可以构造 $0.9\overrightarrow{v}+0.1\overrightarrow{u},0.8\overrightarrow{v}+0.2\overrightarrow{u},0.7\overrightarrow{v}+0.3\overrightarrow{u}$ 等无穷多个解。

高斯消元法与初等行变换

这是一个很高大上的名字。人话就是小学的加减消元法。

$$\{\begin{array}{l}4x+2y=94\\ x+y=35\end{array}\to \{\begin{array}{l}x+y=35\\ 4x+2y=94\end{array}\to \{\begin{array}{l}x+y=35\\ 2x+y=47\end{array}\to \{\begin{array}{l}x+y=35\\ -y=-23\end{array}\to \{\begin{array}{l}x=12\\ y=23\end{array}$$

这里的操作无非就是方程之间交换位置、方程两边同乘非零数、方程之间相加减。

总结一下，就是

1. 互换变换：两个方程之间互换位置；
2. 倍乘变换：某个方程乘一个非零常数 $k$；
3. 倍加变换：把某个方程的倍数加到另一个方程上。

这三个变换称为同解变换，因为这样的操作不会让方程组的解改变。

我们可以用矩阵来描述这个过程：

$$\left(\begin{array}{ccc}4& 2& 94\\ 1& 1& 35\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 35\\ 4& 2& 94\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 35\\ 2& 1& 47\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 35\\ & -1& -23\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& & 12\\ & 1& 23\end{array}\right)$$

这时，这三个操作变成了：

1. 互换变换：交换两行的位置；
2. 倍乘变换：某一行乘一个非零常数 $k$；
3. 倍加变换：把某一行的 $k$ 倍加到另一个行上。

这三个针对行的操作称为初等行变换。

WARNING

注意区分矩阵的初等变换和行列式的变换！

行列式的两行交换时，行列式反号。

行列式的某一行乘上一个常数 $k$，等价于这个行列式的值乘上这个常数 $k$。

NOTE

有没有初等列变换？有，但这不是同解变换。

取刚刚矩阵变换过程的倒数第二个，进行初等列变换。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 35\\ & -1& -23\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 35\\ & -1& -23\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=35\\ y=-23\end{array}$$

这时的解与刚刚我们求出来的不同。因此，初等列变换会改变解，我们不展开讨论。

用矩阵求解方程组

回忆一下之前行列式变换的技巧：

$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ & p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & p_{nn}\end{array}\right|\to \left|\begin{array}{c}{p}_{11}\\ & p_{22}\\ & & \ddots \\ & & & p_{nn}\end{array}\right|$$

先找到 $a_{11}$，用第一行的 $k_i$ 倍分别减去下面几行，使得第一行除了 $a_{11}$ 之外都是 $0$；然后在第二列重复这样的操作，然后是第三列…… 直到化为上三角行列式。

然后最后一行的最后一个元素 $p_{nn}$ 减去上面几行，使得上面几行的最后一个元素都为零；然后在倒数第二列重复这样的操作，然后是倒数第三列…… 直到化为主对角型行列式。

对于矩阵，我们只需要做类似的操作：

$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}& b_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}& d_1\\ & c_{22}& \cdots & c_{2n}& d_2\\ & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & c_{nn}& d_n\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & 0& p_1\\ & 1& \cdots & 0& p_2\\ & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & 1& p_n\end{array}\right)$$

最右边的矩阵就相当于方程组 $\{\begin{array}{l}{x}_1=p_1\\ x_2=p_2\\ \cdots \\ x_n=p_m\end{array}$，已经解出来了。

现在，我们研究我们化出来的这两个矩阵。

行阶梯形矩阵

从一般的矩阵「自上而下」操作得到，类似「上三角行列式」的矩阵。

$$\left(\begin{array}{ccccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}& d_1\\ & c_{22}& \cdots & c_{2n}& d_2\\ & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & c_{nn}& d_n\end{array}\right)$$

特点：

1. 若有零行，零行都在最下方；
2. 非零行的第一个不为零的元素称为主元，并且下一行主元的列标必然增加。

行最简形矩阵

从行阶梯形矩阵「自下而上」操作得到。

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & 0& p_1\\ & 1& \cdots & 0& p_2\\ & & \ddots & ⋮& ⋮\\ & & & 1& p_n\end{array}\right)$$

特点：

1. 是行阶梯形矩阵；
2. 每个非零行的主元全部是 $1$；
3. 每个主元所在的列的其余元素全部为零。

例

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 1& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 2\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\\ \left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& -\frac{1}{3}& 0& 1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$

行最简形矩阵对应着最简的方程组，每个方程左边都只有一个未知数，右边只有一个常数。

所以，我们解方程的目标就是把增广矩阵化成行最简形矩阵。